求数列通项公式方法大全[1]

类型1、Snf(an)

S1(n1)解法：利用an与anSnSn1f(an)f(an1)消去

SS(n2)n1nSn (n2)或与Snf(SnSn1)(n2)消去an进行求解。

例 1 已知无穷数列an的前n项和为Sn，并且anSn1(nN*)，求an的通项公式？

111 an1Sn1Snanan1， an1an， Sn1an，又a1，an.

222n变式1. 已知数列an中，a1Snn(2n1)an ，求an

1，前n项和Sn与an的关系是 3变式2. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn2ann3(nN*)． 求数列{an}的通项公式

变式3. 已知数列{an}的前n项和S，其中{bn}是首项为1，(n1)bnn公差为2的等差数列. 求数列{an}的通项公式；

变式4. 数列an的前n项和为Sn，a11，an12Sn(nN*)．求数列an的通项an

变式5. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn2ann3(nN*)． 求数列{an}的通项公式；

12S(a2)nn8变式6. 已知在正整数数列{an}中，前n项和Sn满足 1an30b{a}〔1〕求证：n是等差数列 〔2〕假设n2，求{bn}的前n

项和的最小值

类型2、an1kanb型〔其中k、b为常数，kb0，k1〕 解：设an1mk(anm) ∴ an1kankmm

比较系数：kmmb ∴ ∴ ∴

{anmbk1

bb}a1k1是等比数列，公比为k，首项为k1

anbb(a1)kn1k1k1

bb)kn1k1k1

∴

an(a1例1 已知数列an中, a11,an2an11(n2),求an的通项公式. 【解析】:利用(anx)2(an1x),an2an1x,求得x1,

an12(an11),an1是首项为a112,公比为2的等比数列,

即an12•2n1,an12n,an2n1

变式1.已知数{an}的递推关系为an1an4，且a11求通项an

类型3、an1anf(n)型，〔f(n)可求前n项和〕，

利用ana1(a2a1)(anan1)求通项公式的方法称为累加法。 例1.已知{an}的首项a11，an1an2n〔nN〕求通项公式。

*23解：

anan12(n1) an1an22(n2) an2an32(n3)……

a3a222

a2a121

ana12[12(n1)]n2n

2ann1 n∴

变式1.已知数列{an}满足an1an2n1，a11，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an1an23n1，a13，求数列{an}的通项公式。

变式3. 已知数列{an}中, a11,an3n1an-1(n2)求数列an的通项公式.

变式4. 已知数列an满足a11，

an1an1求an的通项公式。 n(n1)，

类型4 an1kananb型

解：可设an1A(n1)Bk(anAnB)

∴ an1kan(k1)An(k1)BA

(k1)AabaaBAk1(k1)2 (k1)BAbk1，∴  解得：

∴ {anAnB}是以a1AB为首项，k为公比的等比数列 ∴ anAnB(a1AB)kn1

代入即可

n1a(aAB)kAnB 将A、Bn1∴

例1. 已知：a11，n2时，

解：

an1an12n12，求{an}的通项公式。

1anAnB[an1A(n1)B]2设 an1111an1AnAB2222

1A221A1B122∴ 

A4 解得：B6

∴ a1463

1∴ {an4n6}是以3为首项，2为公比的等比数列

1an4n63()n12∴

an32n1 ∴

4n6

nakaq类型5 n1型 〔q0〕 nan1kan1nn1n1qqq 等式两边同时除以q得qCnank1CCqn 则n1qnq ∴ {Cn}可归为an1kanb型

令

na{a}a2a2a1nn1例1. 已知中，1，n〔n2〕求n。

anan1n11na2a2nn122由得

n

anan1}(n1)nn1nnan2222n2∴ 成等差数列， ∴

{naAaBq类型6 n1〔A、B、q为常数，下同〕型， nn1naqA(aq)的形式.n 可化为n1

例1.在数列an中，a11,an12an43n1,求通项公式an

解：原递推式可化为：

a3n2(a3n1) ①

n1n较

系

数

得

4比，.

①式即是：

an143n2(an43n1)则数列

{an43n1}是一个等比数列，其首项

a143115，公比是2.

∴an43n152n1

n1n1a4352即n.

变式1. 已知数列{an}满足an12an32n，a12，求数列{an}的通项公式。

变式2. 已知数列{an}满足an12an35n，a16，求数列an的通项公式。

变式3. 已知数列{an}满足an13an52n4，a11，求数列{an}的通项

公式。

类型7、an1f(n)an型。

〔1〕假设f(n)是常数时，可归为等比数列。 〔2〕假设f(n)可求积，利用恒等式ana1通项公式的方法称为累乘法。

例1：已知：

a112n1anan13，2n1〔n2〕求数列{an}的通项。

aa2a3n(an0,n2)求a1a2an1anan1an2a3a22n12n32n5533解：an1an2an3a2a12n12n12n3752n1

∴

ana1312n12n1

变式1. 已知a11,ann(an1an)(nN*),求数列an通项公式. 变式2. 〔2004年全国I第15题，原题是填空题〕已知数列{an}满足

a11，ana12a23a3(n1)an1(n2)，求{an}的通项公式。

变式3. 已知数列an满足变式4. 已知{an}中，

类型8、an1a12nan1an3，n1，求an。

an1nann2且a12求数列通项公式。

can(c0,d0) and1d11 的形式的方法叫倒数变换. 取倒数变成

an1canc例1 已知数列an(nN*)中, a11,an1an,求数列an的通项2an1

公式. 【

解

析

】

:

将

an1an2an1取倒数得:

112,an1an112,an1an11是以1为首项,公差为2的等差

a1an数列.

1112(n1),an. an2n1an44an1〔n2〕求an。

例2 已知{an}中，a14， 解：

an12242(an2)anan

an111∴ an122(an2)2an2〔n1〕

1∴ an12即

111bnan22〔n1〕设an2

bn1bn1(n1)2

∴ {bn}是等差数列

111n2(n1)an222 n ∴ an2a12

例3. 已知数列｛an｝满足：a1＝，且an＝数列｛an｝的通项公式； 解：〔1〕将条件变为：1－等比数列，其首项为1－

323nan－1（n2，nN） 求

2an－1＋n－11n－1nn）＝（1－，因此｛1－｝为一个

3an－1anan1111n＝，公比，从而1－＝n，据此得an333a1ann•3n＝n〔n1〕 3－1

变式1.已知数列｛an｝中a11且an1项公式。

变式2.数列an中，a11，an12an,(nN) an2an〔nN〕，，求数列的通an1变式3.在数列｛an｝中，a1 =1, (n1)an1nan，求an的表达式。 变式4. 数列{an}中，

an12n1ann12an，a12，求{an}的通项。

22Snan2Sn1变式5. 已知{an}中，a11，其前n项和Sn与an满足

〔n2〕

1}（1）求证：Sn为等差数列 〔2〕求{an}的通项公式

{

类型9、an2pan1qan〔其中p，q均为常数〕。

(特征根法)：对于由递推公式an2pan1qan，a1,a2给出的数列an，方程x2pxq0，叫做数列an的特征方程。 假设x1,x2是特征方程的两个根，

〔1〕当x1x2时，数列an的通项为anAx1n1Bx2n1，其中A，B由

n1a1,a2决定〔即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入anAx1n1Bx2，得

到关于A、B的方程组〕；

〔2〕当x1x2时，数列an的通项为an(ABn)x1n1，其中A，B由

a1,a2决定〔即把a1,a2,x1,x2和n1,2，代入an(ABn)x1n1，得到

关于A、B的方程组〕。 3、an2Aan1Ban型，可化为

an2an1(A)(an1an)的形式。

例11 在数列{an}中，a11,a22，当

nN，

an25an16an ① 求通项公式an.

解：①式可化为：

an2an1(5)(an1an)

比较系数得=-3或=-2，不妨取=-2.①式可化为：

an22an13(an12an)

则{an1公比为3.

n1a2a43∴n1.利用上题结果有： n2an}是一个等比数列，首项a22a1=2-2〔-1〕=4，

an43n152n1.

例1 数列an：3an25an12an0(n0,nN)， a1a,a2b,求an 解〔特征根法〕：的特征方程是：3x25x20。x11,x2,

2n1anAx1n1Bx2AB()n1。又由a1a,a2b，于是

323

aABA3b2a2 故an3b2a3(ab)()n1 23bABB3(ab)3变式1. 已知数列an中，a11,a22,an2an1an，求an。

key:an731n1()。 4432313变式2. 已知数列an满足a11,a23,an23an12an(nN*).求数列an的通项公式；

r(p0,an0) 类型10 an1pan解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为an1panq，再利用待定系数法求解。

2的通项公式. (a0)，求数列an例1 已知数列｛an｝中，a11,an1an2解：由an1an两边取对数得lgan12lganlg，

1a1a1aana()2n1 令bnlgan，则bn12bnlg，再利用待定系数法解得：

2变式1. 【2002年上海高考题】假设数列{an}中，a1=3且an1an1a1a〔n是正整数〕，则它的通项公式是an=

类型11周期型

解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

12a,(0a)n6n2，假设a1，则a20的值72a1,(1a1)nn2例1假设数列an满足an1

为___________。

变式【2005湖南文5】已知数列{an}满足a10,an1则a20=〔) A．0

类型12平方〔开方〕法

2aaa3a【例1】 假设数列{n}中，1=2且nn1〔nan33an1(nN*)，

B．3 C．3 D．

3 22〕，

求它的通项公式是an.

2a3a解 将nn122aan13。数两边平方整理得n列{

2an}是以

a12=4为首项，3为公差的等差数列。

。因为

22ana1(n1)33n1an＞0，所以

an3n1。