实用文档之高中数学公式大全(必备版)

记\"

1、函数的单调性

(1)设x1、x2[a,b],且x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数. (2)设函数yf(x)在某个区间内可导，

若f(x)0，则f(x)为增函数； 若f(x)0，则f(x)为减函数； 若f(x)=0，则f(x)有极值。 2、函数的奇偶性

若f(x)f(x)，则f(x)是偶函数；偶函数的图象关于y轴对称。 若f(x)f(x)，则f(x)是奇函数；奇函数的图象关于原点对称。

3、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义

函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)是曲线yf(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程是yy0f(x0)(xx0).

4、几种常见函数的导数

①C'0； ②(xn)'nxn1； ③(sinx)'cosx； ④

(cosx)'sinx；

⑤(ax)'axlna； ⑥(ex)'ex； ⑦(logax)'1 x5、导数的运算法则

（1）(uv)'u'v'.

1； xlna⑧(lnx)'（2）(uv)'u'vuv'.

u'u'vuv'（3）(). 2vv6、求函数yfx的极值的方法是：解方程fx0得x0．当

fx00时：

① 如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是

第1页（共13页）

极大值；

② 如果在x0附近的左侧fx0，右侧fx0，那么fx0是极小值．

7、分数指数幂

nmaa(1)

mn. (2)amn1amn1nam.

8、根式的性质 （1）(na)na.

nn（2）当n为奇数时，nana；

a,a0当n为偶数时，a|a|.

a,a09、有理指数幂的运算性质 (1)arasars；

rsrs(2)(a)a；

(3)(ab)ab.

10、对数公式

（1）指数式与对数式的互化式: logaNbabN。

logmN（2）对数的换底公式 :logaN.

logmann（ 3）对数恒等式：①logabnlogab； ②logambrrrnlogab； m③aylogaNN； ④loga10； ⑤logaa1

yy11、常见的函数图象

a<0xk<0ok>0oy=axx01a>0y=kx+b2 y=ax+bx+c

ox 第2页（共13页）

yy=logax01x

12、同角三角函数的基本关系式

sinsin2cos21，tan=.

cos13、正弦、余弦的诱导公式

诱导公式一：sin(+k2)=sin(+2k)=sin； cos(+k2)=cos(+2k)=cos tan(+k2)=tan(+2k)=tan 诱导公式二：sin()=－sin； cos()=－cos； tan()=tan.

诱导公式三：sin（－）=－sin； cos（－）=cos； tan（－）=－tan. 诱导公式四：sin()=sin； cos()=－cos； tan()=－tan. 诱导公式五：sin( cos(

2)=cos；

2)=sin； )=cos；

诱导公式六：sin( cos(

2214、和角与差角公式

sin()sincoscossin; cos()coscossinsin;

tantantan().

1tantan)=－sin.

asinbcos=a2b2sin()；(辅助角所在象限由点(a,b)b的象限决定,tan ).

a15、二倍角公式

第3页（共13页）

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

2tan. tan221tan1cos22cos21cos2,cos2;2公式变形：

1cos22sin21cos2,sin2;216、三角函数的周期

函数yAsin(x)及函数yAcos(x)的周期T大值为|A|；函数yAtan(x)（xk17.正弦定理 ：

2，最||2）的周期T. ||abc2R（R为ABC外接圆的半sinAsinBsinC径）.

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC a:b:csinA:sinB:sinC 18.余弦定理

a2b2c22bccosA; b2c2a22cacosB; c2a2b22abcosC. 19.面积定理

111SabsinCbcsinAcasinB.

22220、三角形内角和定理 在△ABC中，有ABC C(AB)dx CAB 2222C22(AB).

21、三角函数的性质

第4页（共13页）

22、a与b的数量积:a·b=|a||b|cosθ． 23、平面向量的坐标运算

(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则ABOBOA(x2x1,y2y1) (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1x2,y1y2). (3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1x2,y1y2).

第5页（共13页）

(4)设a=(x,y),R，则a=(x,y). (5)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2. (6)设a=(x,y)，则ax2y2 24、两向量的夹角公式：cos(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

25、平面两点间的距离公式：dA,B=|AB|(x2x1)2(y2y1)2 26、向量的平行与垂直： 设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则

a∥bb=λa x1y2x2y10. aba·b=0x1x2y1y20. 27、数列的通项公式与前n项的和的关系

ababx1x2y1y2xyxy21212222；

n1s1,an；( 数列{an}的前n项的和为

ss,n2nn1sna1a2an).

28、等差数列的通项公式

ana1(n1)ddna1d；

29、等差数列其前n项和公式为 n(a1an)n(n1)na1d. sn2230、等差数列的性质：

①等差中项：2an=an1+an1； ②若m+n=p+q，则am+an=ap+aq；

③Sm，S2m，S3m分别为前m，前2m，前3m项的和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列。 31、等比数列的通项公式 ana1qn1； 32、等比数列前n项的和公式为

a1anqa1(1qn),q11q,q1sn1q 或 sn.

nana,q1,q11133、等比数列的性质：

第6页（共13页）

①等比中项：bn=bn1bn1； ②若m+n=p+q，则bmbn=bpbq；

③Sm，S2m，S3m分别为前m，前2m，前3m项的和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等比数列。

34、常用不等式：

（1）a,bRa2b22ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

ab（2）a,bRab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

2

35、直线的3种方程 （1）点斜式：yy1k(xx1)； (直线l过点P且斜率为k)． 1(x1,y1)，（2）斜截式：ykxb；(b为直线l在y轴上的截距). （3）一般式：AxByC0；(其中A、B不同时为0). 36、两条直线的平行和垂直

若l1:yk1xb1，l2:yk2xb2 ①l1||l2k1k2,且b1b2; ②l1l2k1k21. 37、点到直线的距离

|Ax0By0C|d； (点P(x0,y0),直线l：AxByC0).

22AB38、 圆的2种方程

（1）圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2.

xarcos（2）圆的参数方程 .

ybrsin39、点与圆的位置关系：点P(x0,y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种

若d(ax0)2(by0)2，则

2dr点P在圆外; dr点P在圆上; dr点P在圆内. 40、直线与圆的位置关系

直线AxByC0与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系有三种:

第7页（共13页）

其中dAaBbCAB22

dr相离方程组无解：=b24ac0；

dr相切方程组有唯一解：=dr相交方程组有两个解：=bb24ac0； 4ac0.

241、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

x2y2①椭圆：221(ab0)，焦点（±c,0），a2c2b2，离

abxacos焦距2ace=心率，参数方程是.

长轴2caybsinx2y2②双曲线：221(a>0,b>0)，焦点（±c,0），c2a2b2，

ab焦距2acb=，渐近线方程是yx. 离心率e长轴2caapp③抛物线：y22px，焦点(,0),准线x。抛物线上的点到

22焦点距离等于它到准线的距离.

42、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2y2若双曲线方程为221渐近线方程：

abx2y2b20yx. 2aba243、抛物线y2px的焦半径公式

p抛物线y22px的焦半径|PF|x0.（抛物线上的点（x0，y0）

2p到焦点（，0）距离。）

244、平均数、方差、标准差的计算

xx2xn平均数:x1；

n1方差:s2[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]；

n1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2]； 标准差:sn第8页（共13页）

45、回归直线方程

nxixyiybi1n2yabx，其中xixi1aybx46、性检验

xynxyiii1nnxi12inx2.

n(acbd)2K(ab)(cd)(ac)(bd)2； y1 y2 n=a+b+c+d. x1 ①K﹥6.635，有99%的把握认为X和Y有关 x2系；

②K﹥3.841，有95%的把握认为X和Y有关系； ③K﹥2.706，有90%的把握认为X和Y有关系； ④K≤2.706，X和Y没关系。 47、复数

①zabi共轭复数为zabi；

②复数的相等：abicdiac,bd；

a c b d ③复数zabi的模（或绝对值）|z|=|abi|=a2b2； ④复数的四则运算法则

(1)(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (2)(abi)(cdi)(ac)(bd)i； (3)(abi)(cdi)(acbd)(bcad)i；

acbdbcadiacbdbcadi(4)(abi)(cdi)2

cd2c2d2c2d2⑤ 复数的乘法的运算律 交换律:z1z2z2z1.

结合律:(z1z2)z3z1(z2z3). 分配律:z1(z2z3)z1z2z1z3 .

48、参数方程、极坐标化成直角坐标

2x2y2cosx① ； ②  ysinytan(x0)x49、命题、充要条件

充要条件（记p表示条件，q表示结论；即命题“若p，则q”）

第9页（共13页）

ｐ 真 真 假 假 ｑ 真 假 真 假 ①充分条件：若pq，则p是q充分条件. ②必要条件：若qp，则p是q必要条件.

③充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件. ④命题“若p，则q”的否命题：若p，则q；

否定：若p，则q

50、真值表

原命题非ｐ（p） ｐ或ｑ（p∨q） ｐ且ｑ(p∧q) 若p则q假 真 真

互假 真 假

否真 真 假

真 假 假 否命题若┐p则┐q

51、量词的否定

①含有一个量词的全称命题的否定:

全称命题p：xM,p(x),它的否定 p：x0M,p(x0) ②含有一个量词的特称命题的否定:

特称命题p：x0M,p(x0) ,它的否定p：xM,p(x)

52、空间点、直线、平面之间的位置关系

互逆互为为互逆否逆命题若q则p互否逆否命题若┐q则┐p逆否互逆第10页（共13页）

①公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理1的作用：判断直线是否在平面内

②公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 A B

α · C · 公理2的作用：确定一个平面的依据。

·

推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面。

推论2：两条相交直线确定一个平面。 公理2

推论3：两条平行直线确定一个平面。

③公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

公理3的作用：判定两个平面是否相交的依据 53、空间中直线与直线之间的位置关系 ①空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内；有且只有一个公共点； β 共面直线

平行直线：同一平面内；没有公共点；

P α 异面直线：不在同一个平面内；没有公共点。

· L

②公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a、b、c是三条直线

a∥b a∥c c∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

③等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。

注意点：

1.两条异面直线所成的角θ∈(0，2 ]；

2.当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

3.两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 、空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点

（2）直线在平面外 直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点

直线在平面平行 —— 没有公共点

注：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

第11页（共13页）

a α a∩α=A a∥α

55、直线与平面平行的判定

直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示：a α

b β  a∥α a∥b

56、平面与平面平行的判定

①两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示：a β

b β

a∩b = P β∥α a∥α b∥α

②判断两平面平行的方法有三种： （1）判定定理；

（2）平行于同一平面的两个平面平行； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 57、直线与平面、平面与平面平行的性质

①定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：a∥α

a β a∥b α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

②定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

第12页（共13页）

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

③两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另外一个平面。

58、直线与平面垂直的判定

①定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α。 l

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。 α p

②判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意：1.定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

2.定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”

互相转化的数学思想。 59、平面与平面垂直的判定

①两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

60、直线与平面、平面与平面垂直的性质

①定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

②性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

第13页（共13页）