高斯小学奥数六年级上册含答案第15讲 数论综合提高一

本讲知识点汇总： 一． 整除

1． 整除的定义

如果整数a除以整数b b0 ，所得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，也可以说b能整除a，记作b|a．

如果除得的结果有余数，我们就说a不能被b整除，也可以说b不整除a．

2． 整除判定

（1） 尾数判断法

能被2、5整除的数的特征：个位数字能被2或5整除； 能被4、25整除的数的特征：末两位能被4或25整除； 能被8、125整除的数的特征：末三位能被8或125整除．

（2） 截断求和法

能被9、99、999及其约数整除的数的特征．

（3） 截断求差法

能被11、101、1001及其约数整除的数的特征．

（4） 分解判定：一些复杂整数的整除性，例如63、72等，可以把它们分拆成互

质的整数，分别验证整除性．

3． 常用整除性质

以及a|bc ．（b＞c） （1） 已知a|b 、a|c ，则a|bc ，则b|c ． （2） 已知ab|ac

且a,b1 ，则a|c ． （3） 已知a|bc

（4） 已知a|c 且b|c ，则a,bc ． 4． 整除的一些基本方法：

（1） 分解法：

①分解得到的数有整除特性； ②两两互质.

（2） 数字谜法：

①被除数的末位已知；

②除数变为乘法数字谜的第一个乘数.

（3） 试除法：

①除数比较大； ②被除数的首位已知.

（4） 同除法：

①被除数与除数同时除以相同的数； ②简化后的除数有整除特性.

二、质数与合数

1． 质数与合数的定义

质数是只能被1和自身整除的数；合数是除了1和它本身之外，还能被其它数整除的数．

2． 分解质因数

分解质因数是指把一个数写成质因数相乘的形式．如：，2802357 ．1002252

典型题型

一．整除

1． 基本整除问题：对各种整除的判别法要非常熟悉，尤其是9和11这种常见数字； （1） 9的考点：乱切法；

（2） 11的考点：① 奇位和减偶位和；② 两位截断求和；③ 三位截断，奇段和减

偶段和．

2． 整除性质的使用； 3． 整除与位值原理；

4． 整除方法在数字谜中的应用．

二．质数合数

1． 质数合数填数字：注意2和5的特殊性； 2． 判断大数是否为质数：逐一试除法； 3． 末尾0的个数问题：层除法．

例1． （1）五位数365没有重复数字，如它能被75整除，那么这个五位数可能是多少？

（2）如果六位数387能被624整除，则三个方格中的数是多少？

（3）末三位是999的自然数能被29整除，这个数最小是多少？

「分析」（1）75可以分解为3和25；（2）试除法解答这道题目；（3）试着把这道题目改为数字谜的形式进行解答．

练习1、（1）六位数10少？

（2）如果六位数374能被324整除，则三个方格中的数是多少？ 37没有重复数字，如它能被36整除，那么这个六位数是多

（3）末三位是999的自然数能被23整除，这个数最小是多少？

例2． 将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：123456710111213L，如果写到

某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被36整除，那么这个自然数N是多少？ 「分析」36可以分解为4和9，然后分别满足N能被4和9整除，接下来就要用到整除特性了，尤其是9的整除特性如何运用是关键．

练习2、将自然数1，2，3，…，依次写下去组成一个数：123456710111213L，如果写到某个自然数N时，所组成的数恰好第一次能被45整除，那么这个自然数N是多少？

例3． 已知3a7b0c是495的倍数，其中a，b，c分别代表不同的数字．请问：三位数abc是多少？

「分析」分解495=5×9×11，可知只要两个三位数分别满足是5、9、11的倍数即可，分情况讨论即可确定两个三位数分别是多少？

练习3、已知a00b3c5是396的倍数，其中a、b、c分别代表不同的数字．请问：三位数abc是多少？

一个各位数字互不相同的五位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的三位数可以被例4．

23整除，这个五位数的最小值等于多少？最大值呢？

「分析」根据“去掉末两位之后形成的三位数可以被23整除”及最大值或最小值可确

定五位数的前三位，然后根据9的整除特性确定其余数字．

练习4、一个各位数字互不相同的四位数可以被9整除，去掉末两位之后形成的两位数可以被29整除，这个四位数的最大值等于多少？最小值呢？

72乘以一个三位数后，正好得到一个立方数.这个三位数最大是多少？ 例5．

「分析」立方数需满足所含质因数个数均为3的倍数，分解72可以确定质因数的种类，满足上述条件基础上试数即可得出这个三位数．

在数列1、4、7、10、13、16、19、……中，如果前n个数的乘积的末尾0的个数比例6．

前n1 个数的乘积的末尾0的个数少3个，那么n最小是多少？

「分析」末尾0的个数决定于2和5的对数，有一对2、5就可以确定一个0，而题目 数列中2的个数一定多于5的个数，所以只要使数列中数字满足有三个质因数5即可．

数学王国里的一颗明珠——梅森素数

早在公元前300多年，古希腊数学家欧几里得就开创了研究2p1 的先河，他在名著《几何原本》第九章中论述完美数时指出：如果2p1 是素数，则（2p-1）2(p1) 是完美数（Perfect number）．

10年6月，费马在给马林·梅森的一封信中写道：“在艰深的数论研究中，我发现了三个非常重要的性质．我相信它们将成为今后解决素数问题的基础”．这封信讨论了形如2p1 的数（其中p为素数）．

梅森在欧几里得、费马等人的有关研究的基础上对2p1 作了大量的计算、验证工作，并于14年在他的《物理数学随感》一书中断言：对于p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，2p1 是素数；而对于其他所有小于257的数时，2p1 是合数．前面的7个数（即2，3，5，7，13，17和19）属于被证实的部分，是他整理前127和257）人的工作得到的；而后面的4个数（即31，67，属于被猜测的部分．不过，人们对其断言仍深信不疑．

虽然梅森的断言中包含着若干错误，但他的工作极大地激发了人们研究2p1 型素数的热情，使其摆脱作为“完美数”的附庸的地位．梅森的工作是素数研究的一个转折点和里程碑．由于梅森学识渊博，才华横溢，为人热情以及最早系统而深入地研究2p1 型的数，为了纪念他，数学界就把这种数称为“梅森数”；并以Mp记之（其中M为梅森姓名的首字母），即Mp2p1 ．如果梅森数为素数，则称之为“梅森素数”（即2p1 型素数）．

2300多年来，人类仅发现47个梅森素数．由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”．自梅森提出其断言后，人们发现的已知最大素数几乎都是梅森素数；因此，寻找新的梅森素数的历程也就几乎等同于寻找新的最大素数的历程．

作业

1. 五位数30

5没有重复数字，如它能被225整除，那么这个五位数是多少？

2. （1）已知六位数2（2）已知六位数19

012是99的倍数，那么这个六位数是多少？

49是72的倍数，那么这个六位数是多少？

3. 201202203L500的末尾有多少个连续的0？

4. 两个连续自然数的乘积是1190，这两个数中较小的是多少？

5. 太上老君炼仙丹，第一次炼一丹，第二次炼三丹，第三次炼五丹，第四次炼七丹，……，

颗颗炼成不老长生丹．然后装入金葫芦，每个葫芦六十丹，恰装满葫芦若干．已知丹数不足千，问共炼多少颗仙丹？

第十五讲 数论综合提高一

例7． 答案：（1）30675、38625、39675；（2）504；（3）26999

详解：（1）据分解法可知，75能分成25与3，满足是25的倍数，末两位要是25的倍数，即后一个空填2或7，填2时，没有重复数字又是3的倍数，所以只能是38625，填7时，满足条件是30675或39675，所以答案是30675、38625、39675．

（2）将六位数补成387999，387999除以624余495，所以387999减去495的差387504一定是624的倍数，所以答案是504．

（3）改成竖式的数字谜，29乘以某某某答案后三位是999，填完整就是29乘以931等于26999．

例8． 答案：36

详解：要是36的倍数，只要是4和9的倍数即可．9的整除特性是乱切法就可以，所以一位数的时候我们截成一位，两位数就截成两位，几位数就截成几位，所以有1+2+3+…+N是9的倍数，即

NN12是9的倍数，即N或N1是9的倍数，所以

满足条件的N是8、9、17、18、26、27、35、36，写到36时，第一次满足是4的倍数，所以N最小是36．

答案：865 例9．

详解：4955911 ，即只要满足是5、9、11的倍数即可．对3a7 ，不论a取哪一个

一位数都不可能是11和5的倍数，所以b0c 一定是11和5的倍数，即是605．于是3a7 是9的倍数，所以a是8，所以a、b、c组成的三位数是865．

例10． 答案：13806、94365

详解：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．

例11． 答案：8

例12． 答案：83

详解：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第n1 个数应为125的倍数，即3n1125k ，可知k取2时符合要求，此时n为83．

练习：

练习1、答案：（1）105372；（2）220、4或868；（3）20999 练习2、答案：35 练习3、答案：8或908

简答：即a00b3c5要分别被4、9和11整除，由a00b与3c5整除特性且a、b、c代表不同数字可知a00b与3c5分别要被（4、9）与11整除，所以可求得abc是8或908． 练习4、答案：最小值是2907；最大是8793

作业

6. 答案： 38025

简答：能被225整除，即能分别被9和25整除，所以可得该五位数为38025．

（1）260172；（2）197496 7. 答案：

简答：（1）设该六位数为2a01b2，其为99的倍数，即2a1b2能被99整除，又a、b为个位数，所以易知a6，b7，所以该六位数为260172；（2）能被72整除，即能分别被8和9整除，所以可得该六位数为197496．

8. 答案：75

简答：500！所含0的个数减去200！所含0的个数即可，答案为75．

9. 答案：34

简答：易知3421190352，所以可估算出所求的数为34．

10. 答案：900

简答：前n次共炼制n2颗仙丹，且n2是60的倍数，所以n含有质因数2、3和5，于是当n23530时，n2900为所求答案．