广东省深圳外国语高级中学高一数学下学期期末考试试题(含解析)

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一、选择题 1．（3分）角﹣100°所在的象限为（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 考点： 象限角、轴线角． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 把各个选项中的角写成k×360°+α，0°≤α＜360°，k∈z 的形式，根据α的终边位置，做出判断． 解答： 解：∵﹣100°=﹣360°+260°，故﹣100°与260°终边相同，故角﹣100°在第三象限． 故选：C． 点评： 本题主要考查终边相同的角的定义和表示方法，象限角、象限界角的定义，属于基础题． *

2．（3分）已知数列{an}满足：a1=1，an﹣an﹣1=2（n≥2，n∈N），则a5的值为（ ） A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 考点： 等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由条件判断出此数列是等差数列，求出公差，再代入通项公式求出a5的值． *解答： 解：∵an﹣an﹣1=2（n≥2，n∈N）， ∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列， 则a5=1+4×2=9， 故选C． 点评： 本题考查了等差数列的定义应用，以及通项公式求值问题． 3．（3分）已知角α为钝角，且sinα=，则tanα的值为（ ） A． ﹣ B． ﹣ C． D． 考点： 同角三角函数间的基本关系． 专题： 三角函数的求值． 分析： 利用α为钝角，且sinα=，求出α，进而可求tanα的值． 解答： 解：∵角α为钝角，且sinα=， ∴α= ∴tanα=tan=﹣， 故选B． 点评： 本题考查特殊角的三角函数，考查学生的计算能力，属于基础题． 4．（3分）已知数列{an}的前四项为1，，，，则数列{an}的通项公式可能为（ ） A． B． an=2n﹣1 C． D． an=2n+1 an= an= 考点： 数列的概念及简单表示法；进行简单的合情推理． 专题： 探究型． 分析： 将数列的前四项写成相同的形式，然后归纳出相应的通项公式． 解答： 解：因为1，3，5，7，是连续的四个奇数，所以它们对应的表达式为2n﹣1， 所以由数列{an}的前四项为1，，，，得到数列的通项公式为an=． 故选A． 点评： 本题主要考查数列的通项公式，利用数列的有限项的规律可以得到数列的通项公式． 5．（3分）函数y=2sinxcosx是（ ） A． B． 周期为的奇函数 周期为的偶函数 C． 周期为π的奇函数 D． 周期为π的奇函数 考点： 正弦函数的奇偶性；三角函数的周期性及其求法． 专题： 计算题． 分析： 把函数解析式利用二倍角的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=即可求出函数的周期，再根据正弦函数为奇函数及f（﹣x）=﹣f（x）判断得到此函数为奇函数，即可得到正确的选项． 解答： 解：函数y=2sinxcosx=sin2x， ∵sin（﹣2x）=﹣sin2x，∴函数为奇函数， 又ω=2，∴T==π， 则函数是周期为π的奇函数． 故选D 点评： 此题考查了正弦函数的奇偶性，以及三角函数的周期性及其求法，解答此类题常常利用三角函数的恒等变换把函数解析式化为一个角的三角函数，找出ω的值，代入周期公式来解决问题． 6．（3分）在△ABC中，若a=，b=1，∠B=30°，则角A的值为（ ） A． 30° B． 60° C． 120° D． 60°或120° 考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： 根据正弦定理的式子，将题中数据代入求出sinA=，结合三角形内角的取值范围即可算出A的值． 解答： 解：∵在△ABC中，若a=，b=1，∠B=30°， ∴由正弦定理化简得sinA=，得•sin30°= ∵a=＞b=1 ∴A＞B，可得A=60°或120° 故选：D 点评： 本题给出三角形两边和其中一边的对角，求另一边的对角大小．着重考查了利用正弦定理解三角形的知识，属于基础题． 7．（3分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2n+1﹣S2n﹣1+S2=24，则an+1的值为（ ） A． 6 B． 8 C． 12 D． 24 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用数列的前n项的和与第n项的关系和已知条件可得 a2n+a2=424，再由等差数列的性质可得2an+1 =a2n+1+a1=12，由此求得an+1的值． *解答： 解：∵等差数列{an}的前n项和Sn，且S2n﹣S2n﹣1+a2=424，n∈N，则 a2n+a2n+1+a1+a2=24， 再由等差数列的性质可得 a2n+a2n+1+a1+a2=2（a2n+1+a1）=24即a2n+1+a1=12 ∴2an+1 =a2n+1+a1=12 an+1 =6， 故选A． 点评： 本题主要考查等差数列的定义和性质，数列的前n项的和与第n项的关系，属于基础题． 8．（3分）已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜φ的值为（ ）

）的部分图象如图所示，则

A． ﹣ B． ﹣ C． D． 考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 计算题． 分析： 由T=﹣（﹣）可求得T，进而可求得ω，利用﹣ω+φ=2kπ，|φ|＜即可求得φ． 解答： 解：由图知，T=∴T==3π， ﹣（﹣）=，又ω＞0， ∴ω=． ∵﹣ω+φ=2kπ，k∈Z， ×=， ，k∈Z． ∴φ=2kπ+又|φ|＜∴φ=． 故选D． 点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求φ的值是难点，考查分析、运算能力，属于中档题． 9．（3分）如图是函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象，则g（x）的图象可能是由f（x）的图象（ ）

A． 向右平移 C． 向右平移 个单位得到 个单位得到 B． 向右平移D． 向右平移个单位得到 个单位得到 考点： 函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题． 分析： 由函数的图象的对称性求得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标，可得由f（x）=sin2x的图象如何平移得到g（x）的图象即可． 解答： 解：由函数f（x）=sin2x和函数g（x）的部分图象， 可得f（x）=sin2x的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为设函数g（x）的图象位于y轴右侧的第一个最高点的横坐标为m，则有，解得m=． ﹣=个单位，即可得到函数g（x）． ﹣m=﹣故把函数f（x）=sin2x的图象向右平移的图象． 故选 C． 点评： 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，诱导公式，函数图象的对称性，属于中档题． 10．（3分）已知公差为d（d≠0）的等差数列{an}满足：a2，a4，a7成等比数列，若Sn是{an}的前n项和，则 A． 的值为（ ） B． C． 3 D． 2 考点： 等比数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 首先根据等差数列的通项公式和等比数列的性质求得a1和d的关系，然后将所求的式子化简，并将a1和d的关系代入即可得出答案． 解答： 解：∵{an}是等差数列 a2，a4，a7成等比数列， 2∴a4=a2a7 2即（a1+3d）=（a1+d）（a1+6d） 2整理得：a1d﹣3d=0 ∵d≠0 ∴a1=3d ∴====3 故选：C 点评： 此题考查了等比数列的性质、等差数列的前n项和公式，求出a1和d的关系是解题的关键，属于中档题．

11．（3分）设P为函数f（x）== A． 的图象上的一个最高点，Q为函数g（x）

图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值为（ ）

B． C． D． 考点： y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；正弦函数的定义域和值域． 专题： 计算题． 分析： 两个函数的周期相同，求出P，Q在靠近原点，横坐标差值最小．分别令f（x）=，g（x）=﹣，可求得P、Q点的坐标，再用两点间距离公式可把|PQ|表示出来即可． 解答： 解：因为两个函数的周期相同，求出P，Q在靠近原点，横坐标差值最小． 令f（x）=sin（πx所以P（，）， 令g（x）=cos（πx）=﹣，解得x=1， 所以Q（1，﹣）， ）=，解得x=， 所以|PQ|==， |PQ|取得最小值为， 故选A． 点评： 本题考查正、余弦函数的图象、两点间距离公式，考查数形结合思想，属中档题． 12．（3分）△ABC中，sinA，sinB，sinC成等差数列，且tanC=2 A． B． C． ，则的值为（ ） D． 考点： 正弦定理；等差数列的通项公式． 专题： 计算题；等差数列与等比数列；解三角形． 分析： 222根据同角三角函数基本关系，算出cosC=．再根据余弦定理c=b+a﹣2abcosC的式子及2b=a+c，化简整理得到关于b、c的等式，解之即可得到的值． 解答： 解：∵tanC=2＞0，得C为锐角 ∴cosC== ∵sinA，sinB，sinC成等差数列，即2sinB=sinA+sinC ∴根据正弦定理，得2b=a+c 由余弦定理，得c=b+a﹣2abcosC即c=b+（2b﹣c）﹣2b（2b﹣c）× 化简得∴= b﹣2222222bc=0，可得b=c 故选：C 点评： 本题给出三角形中角C的正切，在已知三边成等差数列的情况下求的值，着重考查了等差数列、正余弦定理等知识，属于中档题． 二、填空题

13．（3分）计算：sin120°=

．

考点： 三角函数的化简求值． 专题： 计算题． 分析： 直接利用诱导公式化简表达式，利用特殊角的三角函数求出值即可． 解答： 解：因为sin120°=sin（90°+30°）=cos30°= 故答案为： 点评： 本题是基础题，考查诱导公式的应用，特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力． 14．（3分）在△ABC中， 考点： 正弦定理． 专题： 计算题． 分析： 先根据正弦定理可知sinB=cosB，进而求得B． 解答： 解：由正弦定理可知∵∴∴sinB=cosB ，则∠B= 45° ．

，进而根据题设条件可知，推断出， ∴B=45° 故答案为45° 点评： 本题主要考查了正弦定理的应用．属基础题． 15．（3分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，S3=13，则公比q= 3或﹣4 ． 考点： 等比数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 设等比数列的公比为q，由首项的值，利用等比数列的求和公式表示出S3，让其值等于13列出关于q的方程，求出的解即可得到公比q的值． 解答： 解：由a1=1，设公比为q， 得到S3=2=13 化简得：q+q﹣12=0，即（q﹣3）（q+4）=0， 解得：q=3或q=﹣4， 则公比q的值为3或﹣4． 故答案为：3或﹣4 点评： 此题考查了等比数列的求和公式，熟练掌握等比数列的前n项和公式是解本题的关键． 16．（3分）等差数列{an}的公差为1，它的前n项和为Sn，且S12是{Sn}中唯一的最小项，则a6的取值范围为 （﹣7，﹣6） ． 考点： 等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 利用等差数列的前n项和公式和二次函数的单调性即可得出． 解答： 解：∵数列{an}是公差为1的等差数列，Sn是其前n项和， ∴Sn=na1+=（n﹣）﹣（1﹣2a1） 2∵S12是数列{Sn}中的唯一最小项 ∴11.5＜＜12.5 解得﹣12＜a1＜﹣11 ∴﹣7＜a6=a1+5d＜﹣6 故答案为：（﹣7，﹣6） 点评： 熟练掌握等差数列的前n项和公式和二次函数的单调性是解题的关键． 17．（3分）已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，若aS9= 0 ． 考点： 等差数列的前n项和． +a

=a

+a

，则

专题： 等差数列与等比数列． 分析： 先将条件a+a=a+a求出 解答： 解：因为a，利用平方差公式进行转化，然后利用等差数列的性质+a=a+a，所以， 即（a8﹣a3）（a8+a3）+（a7﹣a2）（a7+a2）=0， 所以5d（a8+a3+a7+a2）=0，因为公差不为0， 所以a8+a3+a7+a2=0，即2（a1+a9）=0， 所以a1+a9=0． 所以． 故答案为：0 点评： 本题主要考查等差数列的性质以及等差数列的前n项和，要求熟练掌握等差数学的性质以及求和公式． 2

18．（3分）已知f（x）=2x﹣2x+1，若关于x的方程f（sinx）=a在[0，π）上恰有两解，则a的取值集合为 {

} ．

考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 利用换元法设t=sinx，将方程转化为二次方程，利用二次方程根的情况确定a的取值． 解答： 解：设t=sinx，因为x∈[0，π），所以0≤t≤1． 则原方程为f（t）=a． 即a=f（t）=2t﹣2t+1=2． 所以要使t=sinx，在[0，π）恰有两解， 则满足0＜t＜1，或t=0和t=1时，满足条件． 所以当t=时，满足条件，此时a=． 当t=0时，a=1，当t=1时，a=1． 综上，满足条件的a=1或． 故答案为：{1，}． 点评： 本题主要考查二次函数的图象和性质，利用换元法将方程转化为一元二次函数，是解决本题的关键． 三、解答题

19．（6分）已知α为锐角，且cosα=，求sin（α+

）和tan2α的值．

考点： 两角和与差的正弦函数；两角和与差的正切函数． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 利用同角三角函数关系，再利用和角的正弦，二倍角的正切公式，即可得到结论． 解答： 解：∵α为锐角，且cosα=，∴， ∴sin（α+tan2α=）===； …（3分） ． …（6分） 点评： 本题考查同角三角函数关系，考查和角的正弦，二倍角的正切公式，考查学生的计算能力，属于中档题． 20．（6分）如图，在△ABC中，∠B=45°，D是BC边上的一点，AD=5，AC=7，DC=3． （1）求∠ADC的大小； （2）求AB的长．

考点： 余弦定理；正弦定理． 专题： 解三角形． 分析： （1）利用余弦定理，可求求∠ADC的大小； （2）在△ABD中，利用正弦定理，可求AB的长． 解答： 解：（1）∵AD=5，AC=7，DC=3， ∴cos∠ADC==﹣ ∴∠ADC=120° …（3分） （2）在△ABD中，∠ADB=60°，AD=5，B=45° 由正弦定理：，得AB=． …（6分） 点评： 本题考查余弦定理、正弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 21．（8分）已知函数f（x）=2asinxcosx+2cosx，且f（（1）求a的值，并写出函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）在[0，

]内的最值和取到最值时的x值．

2

）=2

考点： 二倍角的正弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： （1）先计算a的值，再利用二倍角、辅助角公式，化简，即可得到结论； （2）确定解答： 解：（1）∵f（∴f（x）=2∴∈，利用三角函数的性质，即可得到结论． …（2分） sin2x+cos2x+1= ）=2，∴代入得2sinxcosx+2cosx=． …（4分） （2）∵x∈[0，当当]，∴∈ 时，即时，即时，f（x）max=3 …（6分） 时，f（x）min=0 …（8分） 点评： 本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，属于中档题． 22．（8分）已知递增的等差数列{an}满足：a2a3=45，a1+a4=14 （1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn； （2）设bn=

，求数列{bnbn+1}的前n项和Tn．

考点： 等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和． 专题： 等差数列与等比数列． 2分析： （1）根据等差数列的性质得：a2+a3=14，再由条件构造方程x﹣14x+45=0求根，且a2＜a3，求出a2和a3，求出首项和公差，代入通项公式和前n项和公式化简； （2）由（1）和题意求出bn，再代入bn•bn+1并裂项，再代入Tn相消后化简整理即可． 解答： 解：（1）由题意得，a1+a4=14，则a2+a3=14， 2∵a2a3=45，∴a2、a3是方程x﹣14x+45=0的两根， ∵等差数列{an}是递增数列，∴a2＜a3， 解得a2=5，a3=9，公差d=4，a1=1， ∴an=4n﹣3， Sn===2n﹣n， 2（2）由（1）得，bn===， 则bn•bn+1==4（）， ∴Tn=b1•b2+b2•b3+…+bn•bn+1 =4[（1=4（1﹣）+（）=）+…+（． ）] 点评： 本题考查了等差数列的性质、通项公式和前n项和公式的灵活应用，以及裂项相消法求和问题． 23．（8分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=sinA﹣acosC． （1）求角C的大小；

（2）若c=2，求△ABC周长的取值范围．

考点： 正弦定理． 专题： 计算题；解三角形． 分析： （1）根据正弦定理将题中等式化成sin（C﹣数的性质可得C=； ）=，结合角C的取值范围和正弦函（2）设三角形外接圆半径为R，由正弦定理结合三角恒等变换，将三角形周长化成C=4sin（A+）+2，再根据A∈（0，），结合三角函数的图象与性质即可算出△ABC周长的取值范围． 解答： 解：（1）∵a=sinA﹣acosC ∴根据正弦定理，得sinA=sinCsinA﹣sinAcosC 结合sinA＞0，两边消去sinA得1=结合C﹣∈（﹣，sinC﹣cosC，即sin（C﹣）=， ），解之得C=； …（3分） （2）设三角形外接圆半径为R，则 周长C=a+b+c=2R（sinA+sinB）+2=[sinA+sin（A+）]+2 =（sinA+cosA）+2=4（sinAcos+cosAsin）+2 =4sin（A+∵A∈（0，）+2 …（6分） ），∴A+∈（，），得4sin（A+）∈（2，4] 因此，周长的取值范围为（4，6]． …（8分） 点评： 本题给出三角形的边角关系，求C的大小并求三角形周长的取值范围．着重考查了利用正弦定理解三角形、三角恒等变换等知识，属于中档题． 24．（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且7an+Sn=8． （1）求数列{an}的通项公式；

*

（2）设bn=an+1﹣（2n+1），是否存在常数m∈N，使bn≤bm恒成立，若不存在说明理由，若存在求m的值． 考点： 数列与不等式的综合；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： （1）利用条件，再写一式，两式相减，即可求数列{an}的通项公式； （2）利用作差法，确定函数的单调性，即可求得结论． 解答： 解：（1）∵7an+Sn=8① ∴7an﹣1+Sn﹣1=8② ①﹣②得7an﹣7an﹣1+an=0，即（n≥2）…（2分） 令n=1，得a1=1 …（3分） ∴（2）记∴ …（4分） …（8分） 显然n≤6时，bn+1＞bn，n＞6时，bn+1＜bn， 故（bn）max=b7，即m=7． …（10分） 点评： 本题考查数列的通项，考查数列的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．