2013中考数学 压轴题正方形问题精选解析(三)

2013中考数学压轴题正方形问题精选解析(三)

例6 如图，点A的坐标为（0，－4），点B为x轴上一动点，以线段AB为边作正方形ABCD（按逆时针方向标记），正方形ABCD随着点B的运动而相应变动．点E为y轴的正半轴与正方形ABCD某一边的交点，设点B的坐标为（t，0），线段OE的长度为m． （1）当t＝3时，求点C的坐标；

（2）当t＞0时，求m与t之间的函数关系式； （3）是否存在t，使点M（－2，2）落在正方形ABCD的边上？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

解析：（1）过点C作CF⊥x轴于F 则△CFB≌△BOA，得CF＝BO＝3，FB＝OA＝4 ∴点C的坐标为（－1，3）

（2）当0＜t≤4时，点E为y轴的正半轴与BC边的交点，如图1

D O C E B x y A y C E B D O x OEOB易证△BOE∽△AOB，得＝

OBOAmt12即＝，∴m＝t t44

当t＞4时，点E为y轴的正半轴与CD边的交点，如图2 易证△EDA∽△AOB，得＝

2

A 图1

DAEA

OBAB而DA＝AB，∴AB＝OB·EA

1622

即4＋t＝t(m＋4)，∴m＝t＋－4

t（3）存在 当t≤0时

∵正方形ABCD位于x轴的下方（含x轴），∴此时不存在 当0＜t≤4时

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D y E C B O x A 图2

word

t4

①若点M在BC边上，有＝

2t＋2

解得t＝2或t＝－4（舍去） ②若点M在CD边上，有解得t＝2或t＝4 当t＞4时

t－22－(4－t)

＝ 4tt＋－4－2t2

①若点M在CD边上，有＝

4t解得t＝2（舍去）或t＝4（舍去） 162－

t2

②若点M在AD边上，有＝

4t解得t＝12

综上所述：存在，符合条件的t的值为2、4、12

例7如图，点P是正方形ABCD边AB上一动点（不与点A、B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE、DF． （1）求证：∠ADP＝∠EPB；

（2）若正方形ABCD边长为4，点F能否为边BC的中点？如果能，请你求出AP的长；如果不能，请说明理由．

（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由． 解析：

F（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90° ∴∠ADP＋∠APD＝90°

∵∠DPE＝90°，∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB （2）不能

设AP＝x（0＜x＜4）

A

P

B

E

16

APABDC

2 / 5

word

∵∠A＝∠PBF＝90°，∠ADP＝∠FPB

ADBP44－x∴△ADP∽△BPF，∴＝，∴＝

APBFxBF1212

∴BF＝－x＋x＝－(x－2)＋1

44

∴当x＝2（即P为AB中点）时，BF有最大值1 ∴点F不能为边BC的中点 （3）假设△PFD∽△BFP，则

PDPB＝ PFBF∵△ADP∽△BPF，∴＝ ∴＝，∴PB＝AP

PDAPPFBFPBAPBFBFAP1

∴当＝时，△PFD∽△BFP AB2

例8如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝2AE＝4．将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转α（0°≤α≤60°）． （1）如图2，当∠BEA＝120°时，求DG的长；

（2）设BE的延长线交直线DG于点P，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转60°，求旋转过程中点P运动的路线长；

（3）在旋转的过程中，是否存在某时刻使得BF＝BC，若存在，试求出DP的长；若不存在，请说明理由．

C

B

C

B

C

B

F E

F E D

G

A D

G

图2

A D C

备用图

A B

解析：（1）∵正方形ABCD和正方形AEFG ∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90° ∴∠DAG＝∠BAE＝90°－∠EAD

∴△DAG≌△BAE，∴∠DGA＝∠BEA＝120°

图1

E F D

G

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图2

A H

word

过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图2 则∠AGH＝60°，∴∠GAH＝30° 13

∴GH＝AG＝1，AH＝AG＝3

22在Rt△ADH中，AH＋DH＝AD ∴(3)＋(DG＋1)＝4 解得DG＝13－1（舍去负值）

（2）由（1）知△DAG≌△BAE，∴∠ADG＝∠ABE 如图3，∵∠1＝∠2，∴∠BPD＝∠BAD＝90°

F 连接BD，则△BPD是以BD为斜边的直角三角形 12

设BD的中点为O，连接OP，则OP＝BD＝AB＝22

22

∴旋转过程中，点P运动的路线是以O为圆心，以OP为半径的一段圆弧 如图4，当边AE在边AB上时，P与A重合 当∠BAE＝60°时，设AB的中点为M，连接ME 1

则AE＝AM＝BM＝AB，∴△AEM是等边三角形

2∴∠EMA＝60°，∴∠MBE＝∠MEB＝30° ∴∠BEA＝90°，∴B、E、F三点共线 ∴P与F重合

连接AF，易知△OFA是等边三角形，∠AOF＝60° ∴点P运动的路线长为：22×

6022π＝π 1803

D F (P) G

图4

2

2

2

2

2

2

C

O B

E D

2 1

A

G P

图3

C O E B M A （3）假设存在某时刻使得BF＝BC，则BF＝BA 又EF＝EA，则BE＝BE，∴△BEF≌△BEA ∴∠BEF＝∠BEA，∴∠FEP＝∠AEP＝45° ∴P与G重合

过点A作AH⊥DG，交DG延长线于H，如图5 2

则∠AGH＝45°，AH＝GH＝AG＝2

2在Rt△ADH中，AH＋DH＝AD

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2

2

2

C B

E F D

G (P)

图5

A H

word ∴(2)＋(DG＋2)＝4 解得DG＝14－2（舍去负值） 即DP的长为14－2

222

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