2021-2022学年湖北省武汉市江岸区八年级(上)期中数学试卷(解析版)

卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1． 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A．1，2，6

B．2，2，4

C．1，2，3

D．2，3，4

2．下列图形中是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C． D．

3．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（ ）

A．25

B．30

C．35

D．40

4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过OC便是∠AOB的平分线．角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，则△OMC≌△ONC的理由是（ ）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

5．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）

A．AB＝DE

B．AC＝DF

C．AB∥DE

D．BC＝EF

6．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ） A．（﹣3，﹣2）

B．（﹣3，2）

C．（3，2）

D．（﹣2，3）

7．如图，在△ABC中D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，且BD＝BF，CF＝CE，∠A＝62°，则∠DFE的度数为（ ）

A．58° B．59° C．62° D．76°

8．如图．AD为△ABC的中线．AB＝6．AC＝3，则AD的长可能是（ ）

A．1

B．1.5

C．2.7

D．5

9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）

A．120° B．135° C．150° D．165°

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则

的值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．五边形的对角线一共有 条．

12．等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 ．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，

DE＝3，CD＝2，则BE的长为 ．

14．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB和直线AC于D、E两点，且∠EBC＝30°，则∠A的度数为 ．

15．如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，ACDM，CE于G．H两点下列结论：＝CE，点M为AE中点．连BM．分别交AC，①AB+DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 ．

16．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 ．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．

18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．

19．如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．

20．如图．在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是AB与网格线的交．点

且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）作AB边上高CE．

（2）画出点D关于AC的对称点F； （3）在AB上画点M，使BM＝BC；

（4）在△ABC内两点P，使S△ABP＝S△ACP＝S△BCP．

21．如图，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，AB与DE交于点M． （1）求证：AB＝DE；

（2）连MC，求证：MC平分∠BMD．

22．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．

23．已知在△ABC中，AB＝AC＝BD．∠DAC＝∠DBC＝α．

（1）如图1，点D在△ABC内． ①若α＝10°，求∠BAD的度数； ②求证：∠ABD＝2∠ACD；

（2）如图2．点D在△ABC外．且BC＝8．CD＝5，直接写出△BCD的面积．

24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），a≠0且（a+b）2+0．

（1）直接写出△ABC的形状是 ．

＝

E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120°，（2）如图1，点D为BC上一点，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；

（3）如图2，点P在AB的延长线上，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB 的延长线于N点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．

参考答案

一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1． 下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（ ）A．1，2，6

B．2，2，4

C．1，2，3

D．2，3，4

【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，计算两个较小的边的和，看看是否大于第三边即可．

解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误； B、2+2＝4，不能组成三角形，故此选项错误； C、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项错误； D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确； 故选：D．

2．下列图形中是轴对称图形的是（ ） A．

B．

C． D．

【分析】利用轴对称图形的定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

解：选项A、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；

选项B能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：B．

3．已知三角形的三个内角的度数如图所示．则图中x的值为（ ）

A．25

B．30

C．35

D．40

【分析】根据三角形内角和定理解决此题． 解：由题意得：x°+35°+115°＝180°． ∴x＝30． 故选：B．

4．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别C取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N正合，过OC便是∠AOB的平分线．角尺顶点C连OC．可知△OMC≌△ONC，则△OMC≌△ONC的理由是（ ）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL

【分析】根据全等三角形的判定是解决本题的关键． 解：由题意得：MC＝NC． 在△OMC和△ONC中，

，

∴△OMC≌△ONC（SSS）． 故选：A．

5．如图，点B、E、C、F在同一条直线，∠A＝∠D，BE＝CF，请补充一个条件，使△ABC≌△DEF，可以补充的条件是（ ）

A．AB＝DE

B．AC＝DF

C．AB∥DE

D．BC＝EF

【分析】求出BC＝EF，根据平行线的性质得出∠B＝∠DEF，再根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 解：∵BE＝CF，

∴BE+CE＝CF+CE， 即BC＝EF，

A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意；

B．AC＝DF，BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； C．∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF，

条件∠B＝∠DEF，∠A＝∠D，BC＝EF符合全等三角形的判定定理，能推出△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；

D．BC＝EF，∠A＝∠D不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意； 故选：C．

6．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标是（ ） A．（﹣3，﹣2）

B．（﹣3，2）

C．（3，2）

D．（﹣2，3）

【分析】直接利用关于x轴对称点的性质：横坐标不变，纵坐标互为相反数分析得出答案．

解：点P（3，﹣2）关于x轴的对称点的坐标为（3，2）． 故选：C．

7．如图，在△ABC中D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，且BD＝BF，CF＝CE，∠A＝62°，则∠DFE的度数为（ ）

A．58° B．59° C．62° D．76°

【分析】首先根据三角形内角和定理，求出∠B+∠C的度数；然后根据等腰三角形的性质，表示出∠BFD+∠CFE的度数，由此可求得∠DFE的度数． 解：△ABC中，∠B+∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣62°＝118°， △BDF中，BD＝BF，

∴∠BFD＝（180°﹣∠B）； 同理，得：∠CFE＝（180°﹣∠C）；

∴∠BFD+∠CFE＝180°﹣（∠B+∠C）＝180°﹣×118°＝121°， ∵∠BFD+∠CFE+∠DFE＝180°， ∴∠DFE＝180°﹣121°＝59°． 故选：B．

8．如图．AD为△ABC的中线．AB＝6．AC＝3，则AD的长可能是（ ）

A．1

B．1.5

C．2.7

D．5

【分析】延长AD至E，使ED＝AD，连接CE，则AE＝2AD，证△ADB≌△EDC（SAS），得EC＝AB＝6，再由三角形的三边关系求出＜AD＜，即可求解． 解：延长AD至E，使AD＝DE，连接CE，如图所示： 则AE＝2m，

∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD，

在△ADB和△EDC中，

，

∴△ADB≌△EDC（SAS）， ∴EC＝AB＝6，

在△AEC中，EC﹣AC＜AE＜EC+AC， 即6﹣3＜2AD＜6+3， ∴＜AD＜， 故选：C．

9．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的的顶点都在格点上．则∠ABC的度数为（ ）

A．120° B．135° C．150° D．165°

【分析】延长CB交网格于E，连接AE，根据勾股定理求出AE、AB、BE，根据勾股定 理的逆定理和等腰三角形的判定得出△EAB是等腰直角三角形，求出∠EBA＝45°即可．解：延长CB交网格于E，连接AE，

由勾股定理得：AE＝AB＝∴AE2+AB2＝BE2，

＝，BC＝BE＝＝，

∴△EAB是等腰直角三角形（∠EAB＝90°）， ∴∠EBA＝∠AEB＝45°， ∴∠ABC＝180°﹣45°＝135°， 故选：B．

10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB上的点，且△DEF为等边三角形，若AD＝CD．则

的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】设AC＝1，根据含30°直角三角形的性质和勾股定理求出AB，BC，根据AD＝CD，得到AD＝，CD＝，过点D作DH⊥AB于H点，求出AH，DH，根据△DEF是等边三角形，证明△DCF≌△EHD，得到CF，HE，故可求出BF，BE，AE，从而求解．

解：∵∠C＝90°，∠B＝30°，设AC＝1，则AB＝2AC＝2， ∴BC＝

＝

，

∵AD＝CD，AD+CD＝1， ∴AD＝，CD＝， 过点D作DH⊥AB于H点，

∴∠ADH＝90°﹣∠A＝30°， ∴AH＝AD＝

，DH＝

，

∵△DEF是等边三角形，

∴DF＝DE，∠C＝∠DHE＝90°，∠FDE＝60°，

∴∠CFD+∠CDF＝∠CDF+∠HDE＝180°﹣30°﹣60°＝90°， ∴∠CFD＝∠HDE，

∵∠FCD＝∠DHE＝90°，DF＝ED， ∴△DCF≌△EHD（AAS）， ∴CF＝DH＝∴BF＝BE＝2﹣AE＝

，

，

，HE＝CD＝，

，

∴，

故选：D．

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．五边形的对角线一共有 5 条．

【分析】利用n边形从一个顶点出发可引出（n﹣3）条对角线．从n个顶点出发引出（n﹣3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n﹣3）（n≥3，且n为整数）计算． 解：五边形的对角线共有故答案为：5

12．等腰三角形的两边分别4和9．则这个等腰三角形的周长为 22 ．

【分析】已知了等腰三角形两边长为4和9，但是没有明确腰长和底长，因此要分类讨论．解：①当腰长为4时，三角形的三边长为9、4、4，不符合三角形三边关系，因此这种情况不成立；

②当腰长为9时，三角形的三边长为9、9、4，能构成三角形，则其周长＝9+9+4＝22． 故答案为：22．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC．点D为△ABC外一点，AE⊥BD于E．∠BDC＝∠BAC，DE＝3，CD＝2，则BE的长为 5 ．

【分析】方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，证△ABE≌△ACF（AAS），AE＝AE，得BE＝CF，再证Rt△ADF≌Rt△ADE（HL），得DF＝DE＝3，则CF＝CD+DF＝5，即可求解．

方法二：在BD上截取BN＝CD，连接AN，设BD交AC于H，先证明∠ABN＝∠ACD，再证明△ABN≌△ACD（SAS），得出AN＝AD，由等腰三角形三线合一的性质得NE＝DE，即可得出答案．

解：方法一：过A作AF⊥CD，交CD的延长线于F，如图所示： 则∠AFC＝90°，

＝5；

∵AE⊥BD，

∴∠AEB＝∠AED＝90°， ∵∠BDC＝∠BAC， ∴∠ABE＝∠ACF， 在△ABE和△ACF中，

，

∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴BE＝CF，AE＝AF， 在Rt△ADF和Rt△ADE中，

，

∴Rt△ADF≌Rt△ADE（HL）， ∴DF＝DE＝3， ∴CF＝CD+DF＝5， ∴BE＝CF＝5， 故答案为：5．

方法二：在BD上截取BN＝CD，连接AN，设BD交AC于H，如图2所示：

∵∠ABN+∠BAC+∠AHB＝180°，∠ACD+∠BDC+∠CHD＝180°，∠AHB＝∠CHD，∠BDC＝∠BAC， ∴∠ABN＝∠ACD， 在△ABN和△ACD中，

，

∴△ABN≌△ACD（SAS）， ∴AN＝AD， ∵AE⊥BD， ∴NE＝DE，

∴BE＝BN+NE＝CD+DE＝2+3＝5， 故答案为：5．

14．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线分别交AB和直线AC于D、E两点，且∠EBC＝30°，则∠A的度数为 40°或160° ．

【分析】根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，得到∠ABE＝∠EAB，根据三角形的内角和等于180°或三角形外角的性质计算即可． 解：如图1，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB+∠A＝180°， ∵DE垂直且平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠ABE＝∠A，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠ABE+∠EBC＝∠A+30°， ∴∠A+2（∠A+30°）＝180°， 解得∠A＝40°； 如图2，

∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DE垂直且平分AB， ∴EA＝EB， ∴∠ABE＝∠BAE，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠EBC﹣∠ABE＝∠EBC﹣∠BAE＝30°﹣∠BAE， ∵∠ABC+∠ACB＝∠BAE， ∴2（30°﹣∠BAE）＝∠BAE， 解得∠BAE＝20°，

∴∠A＝180°﹣20°＝160°． 故答案为：40°或160°．

15．如图，在四边形ABDE中，点C为BD边上一点．∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°，ACDM，CE于G．H两点下列结论：＝CE，点M为AE中点．连BM．分别交AC，①AB+DE＝BD；②△BDM为等腰直角三角形：③△BDM≌△AEC；④GH∥BD．其中正确的结论是 ①②④ ．

BC＝DE，【分析】由“AAS”可证△ACB≌△CED，可得AB＝CD，可证AB+BD＝BC+CD＝BD，故①正确；由“SAS”可证△ABM≌△CDM，可得∠AMB＝∠CMD，BM＝DM，可证△BMD是等腰直角三角形，故②正确；由AE≠BD，可得△ACE与△BMD不全等，故③错误；由“ASA”可证△AMG≌△CMH，可得MG＝MH，可求∠MGH＝45°＝∠MBD，可证GH∥BD，故④正确；即可求解． 解：∵∠ABD＝∠BDE＝∠ACE＝90°， ∴∠BCA+∠ECD＝90°＝∠BCA+∠BAC， ∴∠BAC＝∠ECD，

又∵AC＝CE，

∴△ACB≌△CED（AAS）， ∴AB＝CD，BC＝DE，

∴AB+DE＝BC+CD＝BD，故①正确； 如图，连接MC，

∵AC＝CE，∠ACE＝90°，点M是AE的中点， ∴AM＝CM＝ME，∠CAE＝∠ACM＝∠ECM＝45°， ∴∠BAM＝∠MCD， 又∵AB＝CD，

∴△ABM≌△CDM（SAS）， ∴∠AMB＝∠CMD，BM＝DM，

∴∠AMB+∠BMC＝∠BMC+∠DMC＝90°， ∴∠BMD＝90°，

∴△BMD是等腰直角三角形，故②正确； ∵点C不是BD的中点， ∴BD≠2MC， ∴AE≠BD，

∴△ACE与△BMD不全等，故③错误； ∵△BMD是等腰直角三角形， ∴∠MBD＝∠MDB＝45°， ∵∠AMC＝∠GMH＝90°， ∴∠AMG＝∠CMH，

又∵AM＝CM，∠MAG＝∠MCH， ∴△AMG≌△CMH（ASA）， ∴MG＝MH，

∴∠MGH＝45°＝∠MBD，

∴GH∥BD，故④正确； 故答案为：①②④．

16．如图在△ABC中．∠B＝45°．AB＝4．点P为直线BC上一点．当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为 15° ．

【分析】以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，则BP+2AP＝2（BP+AP）＝（PH+AP），故当A、P、H三点共线时，PH+AP最小，从而解决问题． 【解答】解；如图，以BC为边，作∠CBF＝30°，过点P作PH⊥BF于H，

∴PH＝BP，

∴BP+2AP＝2（BP+AP）＝（PH+AP）， ∴当A、P、H三点共线时，PH+AP最小， 过点A作AG⊥BF于G，交BC于P'， 在Rt△ABG中，∠ABG＝30°+45°＝75°， ∴∠BAG＝15°，

∴当BP+2AP有最小值时，∠BAP的度数为15°， 故答案为：15°．

三、解答题（共8小题，共72分）

17．一个多边形的内角和是它外角和的2倍，求这个多边形的边数．

【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

解：设这个多边形的边数是n，

根据题意得，（n﹣2）•180°＝2×360°， 解得n＝6．

答：这个多边形的边数是6．

18．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，求证：BE∥DF．

【分析】根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可． 【解答】证明：∵在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∵BE平分∠B，DF平分∠D， ∴∠EBF+∠FDC＝90°， ∵∠C＝90°，

∴∠DFC+∠FDC＝90°， ∴∠EBF＝∠DFC， ∴BE∥DF．

19．如图，点D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C，求证：AD＝AE．

【分析】根据全等三角形的判定定理ASA可以证得△ACD≌△ABE，然后由“全等三角形的对应边相等”即可证得结论． 【解答】证明：在△ABE与△ACD中，

，

∴△ACD≌△ABE（ASA），

∴AD＝AE（全等三角形的对应边相等）．

20．如图．在7×7的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是AB与网格线的交．点且AB＝5，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．

（1）作AB边上高CE．

（2）画出点D关于AC的对称点F； （3）在AB上画点M，使BM＝BC；

（4）在△ABC内两点P，使S△ABP＝S△ACP＝S△BCP．

【分析】（1）取格点T，连接CT交AB于点E，线段CE即为所求； （2）作线段AB关于直线AC的对称直线与网格线的交点F即为所求；

（3）取格点J，Q，连接BJ，CQ（BJ⊥CQ），CQ交AB于点M，点M即为所求； （4）△ABC的中线的交点，即为所求． 解：（1）如图，线段CE即为所求； （2）如图，点F即为所求； （3）如图，点M即为所求； （4）如图，点P即为所求．

21．如图，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD＝∠BCE，AB与DE交于点M． （1）求证：AB＝DE；

（2）连MC，求证：MC平分∠BMD．

【分析】（1）根据SAS证明△ABC和△DEC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；

（2）根据AAS证明△AGC和△DHC全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【解答】证明：（1）∵∠ACD＝∠BCE， ∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE， ∴∠BCA＝∠ECD， 在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴AB＝DE；

（2）过C作CG⊥AB于G，CH⊥DE于H，

∵△ABC≌△DEC， ∴∠A＝∠D，AC＝DC， ∵∠AGC＝∠DHC＝90°， 在△AGC和△DHC中，

，

∴△AGC≌△DHC（AAS）， ∴CG＝CH， ∴MC平分∠BMD．

22．已知在△ABC中，∠C＝3∠B，AD平分∠BAC交BC于D．

（1）如图1．若AE⊥BC于E，∠C＝75°，求∠DAE的度数； （2）如图2，若DF⊥AD交AB于F，求证：BF＝DF．

【分析】（1）根据角平分线的定义和垂直的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义和等腰三角形的判定解答即可． 【解答】（1）解：∵∠C＝3∠B，∠C＝75°， ∴∠B＝25°，

∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°， ∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠BAC＝40°， ∴∠ADE＝∠BAD+∠B＝65°， ∵AE⊥BC， ∴∠AED＝90°，

∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣65°＝25°，

（2）证明：设∠B＝α，则∠C＝3α，∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣4α， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵DF⊥AD， ∴∠ADF＝90°，

∴∠AFD＝90°﹣∠BAD＝2α， ∵∠AFD＝∠B+∠BDF， ∴∠BDF＝α＝∠B， ∴BF＝DF．

23．已知在△ABC中，AB＝AC＝BD．∠DAC＝∠DBC＝α．

（1）如图1，点D在△ABC内． ①若α＝10°，求∠BAD的度数； ②求证：∠ABD＝2∠ACD；

（2）如图2．点D在△ABC外．且BC＝8．CD＝5，直接写出△BCD的面积．

【分析】（1）①根据三角形的内角和定理解答即可；

②在BC取点E，使BE＝AD，根据SAS证明△ADC和△BED全等，进而解答即可； （2）在AD取点F，使AF＝BC，过点B作BM⊥DC交DC的延长线于M，根据SAS证明△AFC≌△BCD，进而解答即可．

【解答】（1）①解：设∠BAD＝x，则∠ABD＝180°﹣2x， ∴2（180°﹣2x+10°）+x+10°＝180°， 解得：x＝70°， ∴∠BAD＝70°；

②证明：在BC取点E，使BE＝AD，

∵∠DAC＝∠DBC，BD＝AC， 在△ADC和△BED中，

，

∴△ADC≌△BED（SAS）， ∴∠BDE＝∠ACD，DE＝DC，

设∠ACD＝β，则∠DEC＝∠DCE＝α+β， ∴∠ACB＝α+2β， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴∠ABD+α＝α+2β， ∴∠ABD＝2β， 即∠ABD＝2∠ACD；

（2）在AD取点F，使AF＝BC，过点B作BM⊥DC交DC的延长线于M，

同理可得△AFC≌△BCD（SAS）， ∴∠BDC＝∠ACF，CD＝CF，

设∠BDC＝∠ACF＝β，则∠CFD＝∠CDF＝α+β， ∴∠ACB＝3α+2β，∠BAC＝2β， ∴2（3α+2β）+2β＝180°， ∴α+β＝30°，

∴∠AFC＝∠BCD＝150°， ∴BM＝BC＝4， ∴

．

＝

24．在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（0，c），a≠0且（a+b）2+0．

（1）直接写出△ABC的形状是 等腰三角形 ．

E为y轴负半轴上一点且∠ACB＝120°，（2）如图1，点D为BC上一点，∠ADE＝60°，CD＝2BD，求点E的坐标；

（3）如图2，点P在AB的延长线上，过P作PM⊥AC交AC的延长线于M点，交CB 的延长线于N点，且PM＝BC．试确定线段CM、BN、PN之间的数量关系，并加以证明．

【分析】（1）证OA＝OB，再由线段垂直平分线的性质得AC＝BC即可；

（2）在CE上取点F，使CF＝CD，连接DF，证△CDF是等边三角形，得∠CFD＝60°，CD＝FD，再证△ACD≌△EFD（AAS），得AC＝EF，然后由含30°角的直角三角形的

性质得BC＝AC＝2OC＝8，则EF＝AC＝8，求出CE＝EF+CF＝求解；

，则OE＝，即可

（3）过A作AQ⊥AM交y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，证△AMP≌△QAC（AAS），得AM＝QA，再证四边形AMTQ是正方形，得AM＝TM＝TQ＝AQ＝BQ，然后证Rt△QBN≌Rt△QTN（HL），得BN＝TN，即可解决问题． 解：（1）△ABC是等腰三角形，理由如下： ∵A（a，0），B（b，0）， ∴OA＝﹣a，OB＝b， ∵a≠0且（a+b）2+∴a+b＝0，c﹣4＝0， ∴b＝﹣a，c＝4， ∴OA＝OB， 又∵OC⊥AB， ∴AC＝BC，

∴△ABC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形；

（2）在CE上取点F，使CF＝CD，连接DF，如图1所示： ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠ACO＝∠BCO＝60°， ∴△CDF是等边三角形， ∴∠CFD＝60°，CD＝FD， ∴∠EFD＝120°， ∵∠ACO＝∠ADE＝60°， ∴∠CAD＝∠CED，

又∵∠ACD＝∠EFD＝120°， ∴△ACD≌△EFD（AAS）， ∴AC＝EF， 由（1）得：c＝4， ∴OC＝4，

＝0，

∵∠AOC＝90°，∠ACO＝60°， ∴∠OAC＝30°，

∴BC＝AC＝2OC＝8，EF＝AC＝8， ∵CD＝2BD， ∴BD＝，CF＝CD＝∴CE＝EF+CF＝8+∴OE＝CE﹣OC＝∴E（0，﹣

）；

＝﹣4＝

， ， ，

（3）CM＝BN+PN，证明如下：

过A作AQ⊥AM交y轴于Q，过Q作QT⊥MN交MN的延长线于T，连接BQ、NQ，如图2所示： 则∠QAC＝90°， ∴∠ACQ+∠CQA＝90°， ∵∠AOC＝90°， ∴∠PAM+∠ACQ＝90°， ∴∠PAM＝∠CQA， ∵PM⊥AC，

∴∠M＝90°＝∠QAC， 由（1）得：OA＝OB，AC＝BC， ∵PM＝BC， ∴PM＝AC，

∴△AMP≌△QAC（AAS）， ∴AM＝QA， ∵QT⊥MN，

∴∠QTM＝90°＝∠QAC＝∠M， ∴四边形AMTQ是矩形， ∵AM＝QA，

∴矩形AMTQ是正方形，

∴AM＝TM＝TQ＝AQ＝BQ， ∵AC＝BC，CQ⊥AB，

∴△ACQ和△BCQ关于y轴对称， ∴AQ＝BQ，∠QBC＝∠QAC＝90°， ∴∠QBN＝90°， ∵QN＝QN，

∴Rt△QBN≌Rt△QTN（HL）， ∴BN＝TN，

∴BN+PN＝TN+PN＝PT， ∵AC＝BC，PM＝BC， ∴AC＝PM， ∴CM＝PT， ∴CM＝BN+PN．