不定积分换元法例题

不定积分换元法例题1(总10页)

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【第一换元法例题】

111、(5x7)9dx(5x7)9dx(5x7)9d(5x7)(5x7)9d(5x7)

551111(5x7)9d(5x7)(5x7)10C(5x7)10C 5510501【注】(5x7)'5,d(5x7)5dx,dxd(5x7)

5

lnx12、dxlnxdxlnxdlnx

xx11lnxdlnx(lnx)2C(lnx)2C

22111【注】(lnx)',d(lnx)dx,dxd(lnx)

xxx

sinxsinxdxdcosxdcosx3（1）tanxdx dxcosxcosxcosxcosxdcosxln|cosx|Cln|cosx|C

cosx【注】(cosx)'sinx,d(cosx)sinxdx,sinxdxd(cosx) 3（2）cotxdxcosxcosxdxdsinx dxsinxsinxsinxdsinxln|sinx|Cln|sinx|C sinx【注】(sinx)'cosx,d(sinx)cosxdx,cosxdxd(sinx) 4（1）111dxdxd(ax) axaxax1d(ax)ln|ax|Cln|ax|C ax【注】(ax)'1,d(ax)dx,dxd(ax) 4（2）111dxdxd(xa) xaxaxa1d(xa)ln|xa|Cln|xa|C xa【注】(xa)'1,d(xa)dx,dxd(xa) 4（3）11111111dxdxdxdxdx 2222xaxa2axaxa2axaxa2

11xaC ln|xa|ln|xa|Cln2a2axa

secx(secxtanx)sec2xsecxtanxdxdx 5（1）secxdxsecxtanxsecxtanxd(tanxsecx)d(tanxsecx)ln|secxtanx|C secxtanxsecxtanx1cosxcosxdxdsinx5（2）secxdx dxdx222cosxcosxcosx1sinxdsinx1111sinx111sinxdsinxlnClnC 1sin2x2sinx1sinx12sinx121sinxcscx(cscxcotx)csc2xcscxcotxdxdx 6（1）cscxdxcscxcotxcscxcotxd(cotxcscx)d(cscxcotx)ln|cscxcotx|C

cscxcotxcscxcotxcscx(cscxcotx)csc2xcscxcotxdxdx 6（2）cscxdxcscxcotxcscxcotx7（1）d(cotxcscx)d(cscxcotx)ln|cscxcotx|C

cscxcotxcscxcotx11x2dxdx1x2arcsinxC

7（2）1a2x2dxdxa2x2dxxa1a2xdax1a2xdax1a2arcsinxC a8（1）1dxdxarctanxC 221x1xxxdd1dxdx1a1a1arctanxC，dx8（2）2a2x2x2ax2ax2aax2a211a1aaa（a0）

9（1）sin3xcos5xdxsin2xcos5xsinxdxsin2xcos5xdcosx

cos8xcos6x(1cosx)cosxdcosx(cosxcosx)dcosxC

8625753

9（2）sin3xcos5xdxsin3xcos4xcosxdxsin3xcos4xdsinx

sin4xsin6xsin8xsinx(1sinx)dsinx(sinx2sinxsinx)dsinxC

438322357

dx1111dxdlnxdlnxlnlnxC xlnxlnxxlnxlnxdx1111110（2）dxdlnxdlnxC ln2xln2xxln2xln2xxlnx 10（1）2xdx2xdxdx2d(x21)44arctan(x21)C 11（1）422222x2x2x2x2x2x21(x1)xdx12xdx1dx21d(x21)11（2）4

x2x252x42x252x42x2524(x21)2x21d221d(x1)11x21 arctan()C 22228442x1x11122 12、sinx11dxsinxdx2sinxdx2sinxdx xx2x 2sinxdx2cosxC2cosxC

13、e2xdx

sin4xC 14、 sinxcosxdxsinxcosxdxsinxdsinxsinxdsinx4333312x12x12xed2xed2xeC 222

1115、(2x5)100dx(2x5)100dx(2x5)100d(2x5)(2x5)100d(2x5)

221111(2x5)100d(2x5)(2x5)101C(2x5)101C 22101202

11116、xsinx2dxsinx2xdxsinx2dx2sinx2dx2cosx2C

222 17、lnxlnx1lnx(1lnx)1dxdxdlnxdlnx

xx1lnx1lnx1lnx1lnx4

1lnxdlnx 1dlnx1lnx11lnxd(1lnx)d(1lnx)

1lnx3122(1lnx)2(1lnx)2C3

earctanx1arctanxdxedxearctanxdarctanxearctanxdarctanxearctanxC 18、221x1x19、x1x21dx11x2xdx121x2dx2121x2d(1x2)

21x2d(1x2)1x2C

20、

ex111xxdxedxded(2ex)ln(2ex)C 21、xxxx2e2e2e2esinxcosx3dx1cosx3sinxdx1cosx3dcosxcos32xdcosx2cos12xC

ln2x1ln3x222dxlnxdxlnxdlnxlnxdlnxC 22、xx3 23、

11d(x)d(x)dxdx2224、2 1717xx217(x)2(x)2(x)2()224242211d(x)x222C2arctan2x1C arctan177777(x)2()2222

dx12xx2dx2(1x)2d(1x)2(1x)2d(1x)(2)2(1x)2arcsin1xC 225、计算sinxcosxa2sin2xb2cos2xdx，a2b2

5

【分析】因为：(a2sin2xb2cos2x)'a22sinxcosxb22cosx(sinx)2(a2b2)sinxcosx 所以：d(a2sin2xb2cos2x)2(a2b2)sinxcosxdx sinxcosxdx1d(a2sin2xb2cos2x) 222(ab)【解答】sinxcosxasinxbcosx2222dx1d(a2sin2xb2cos2x) 2222222222asinxbcosxab2asinxbcosxsinxcosxdx1d(a2sin2xb2cos2x)1 2222a2sin2xb2cos2xC

ab2a2sin2xb2cos2xab

【不定积分的第二类换元法】 已知f(t)dtF(t)C

求g(x)dxg((t))d(t)g((t))'(t)dt 【做变换，令x(t)，再求微分】 f(t)dtF(t)C 【求积分】

F(1(x))C 【变量还原，t1(x)】

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【第二换元法例题】

令xtsinxsint2sintdxdt2tdt2sintdt 1、2xtttx2costC2cosxC

tx变量还原

令xt111t12dxdt2tdt2dt21dt 2（1）2xt1t1t1t1x1t6

2

2tln|1t|Ctx变量还原xln|1x|C

令1+xt111t112dxd(t1)2(t1)dt2dt21dt 2（2）2x(t1)ttt1xt2tln|t|C21xln|1x|C

t1x变量还原

33、

4111343321xdxtd(t1)t4(t1)3tdt 323434x(t1)(t1)x(t1)3令1xt4334474(1x)(1x)tt63C 1212(tt)dt12C 3474t1x7474变量还原 4、令xt11112dxdt2tdt2dt 2222xtt(1t)t(1t)1tx(1x)2arctantC2arctanxC

tx令et1111111dxdlntdtdt5、dt 1t1ttt(1t)xlnt1ext1tx变量还原变量还原texClnC ln|t|ln|1t|Clnxxte1t1e

令xtdx11t21656、dt6tdt6dt61dt 32323226xt(1t)t(1t)t1t(1x)x1t变量还原tx66(xarctanx)C 6(tarctant)C6m66【注】被积函数中出现了两个根式数。

x,nx时，可令xt，其中k为m,kn的最小公倍

t2dxt23dt3tln|1t|C 37（1）3xt21t1x22令x2t37

3(x2)2333x2ln|1x2|C t6x2变量还原2t211x2dt2t2ln|t1|ln|t1|C dx 27（2）1t1x2xxt1令1xtx1x1x1x22ln|1|ln|1|C 1xxxxt变量还原xnn【注】被积函数中含有简单根式去根式。

axb或

axbcxd时，可令这个简单根式为 t，即可消

dx8(1)8x(1x2)1dt2t812tdtttt1dt 22111111t1txt11t8t2t8t21令txd1t变量还原t7t5t311111tarctantC753arctanC

17537x5x3xxxtx111ln1lnxtd1t1dt1lntdtdx221tlnt2 8（2）(xlnx)21t1t2x111tlnlntttt1令tx1ln1(1lnt)dtd(1tlnt)C221tlnt1tlnt1tlnt t1x变量还原111xCC11xlnx1lnxx

【注】当被积函数中分母的次数较高时，可以试一试倒变换。

8

2t2t1221sinxt2dt1t1tdxd2arctan9、sinx(1cosx)x2arctant2t1t21t21t2 22t(1)(1)22221t1t1t1tx令tant2111t21t2dttln|t|C2t422x 变量还原tan

x1x2tanln|tan|C14222tx【注】对三角函数有理式的被积函数，可以用万能公式变换，化为有理分式函数的积分问题。

令xasint，|t|22xa210（1）axdxa2a2sin2tdasinta2cos2tdt

tarcsindxa2x22令xasint，|t|xa2tarcsinxdttCarcsinC

xatarcsina2a2sin2ta变量还原dasint1cos2ta2a2sin2tadt(1cos2t)dttC2222tarcsinxa变量还原ax1arcsinxa2x2C2a222

10（2）变量还原dxax22令xatant，|t|xtarctanadatantaatant222sectdtln|secttant|C

xa2x2ln||Cln|xa2x2|C xaatarctana因为：(xax)'2ax2222a2ax222

所以：(xax)'dx2axdx222a2ax22dx

即：

11222axdx(xax)'dxa2a2x222dx 21a2222xaxln|xax|C

229

10（3）变量还原dxxa22令xasect，0t2dasectasecta222sectdtln|secttant|C

xx2a2|Cln|xx2a2|C ln|xasectaa

因为：(xxa)'2xa2222a2xa222

所以：(xxa)'dx2xadx222a2xa22dx

即：

11222xadx(xxa)'dxa2x2a222dx 21a2222xxaln|xxa|C

22【注】当被积函数中出现a2x2,a2x2,x2a2因子时，可以用三角变换，化为三角函数的积分问题。

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【附加】【应用题】

C(x)100)'2，产量为 1 个单位已知生产x单位的某种产品，边际单位成本是C'(x)(xx时，成本为102，又知边际收益为R'(x)120.1x，且R(0)0， 求：（1）利润函数L(x)； （2）利润最大时的产量；

（3）利润最大时的平均价格。

【解答】

10

C(x)100)'2 xx100100 所以：C(x)C1，由C1(1)102得：C12， C(x)2， 

xx（1）因为：C'(x)(C(x)1002x

又已知：R'(x)120.1x，R(0)0， R(x)12x0.05x2 于是：L(x)R(x)C(x)10x0.05x2100 （2）令 L'(x)100.1x0得：x100

因为：L'(100)0,L\"(100)0，所以当x100时利润最大，（3）利润最大时的平均价格为：PR(100)1007001007 11

Lmax(100)400