变式教学的内涵与案例浅说(广州7中陈世明)

——我的数学教学观

广州七中 陈世明

一、变式教学的内涵

变题、变形、变法

1.变题：一题多变与一题多解

（1）历史回顾：重视、常用 （2）现实状况：淡化、少用

（3）功能浅说：①培养发散思维；②构建知识网络；③达成融会贯通

（4）点滴感想：数学教学不等同于解题教学，数学教学也不仅仅是为了追求考试的高分数（当然追求考试的高分数很重要，我们靠它生存的），数学教学除了追求考试的高分数的同时，应该还有更高的追求，日本著名数学教育家米山国藏说过:学生在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等

(若有的话)，却随时随地发生作用，使他们终生受益。

（5）一个例子（一道公务员考题）：61、52、63、94、46、 。（换位思考） 关于如何变题，是一个比较大的研究专题，由于时间有限，今天暂不展开。

2.变形：公式的变形应用与解题过程中的恒等变形

（1）聚焦课堂：公式的变形应用老师们都比较注意，在公式的教学中，一般都会强调公式的“三用”：正用、逆用和变形用。然而对解题过程中的恒等变形却没有引起足够的重视，尤其是实施新课程以来，课本对恒等变形的能力要求很低，比如初中的因式分解，高中三角恒等式的证明等，导致学生的恒等变形的的能力直线下降，老师们常说现在的学生解题能力很差，与其说学生的解题能力差，倒不如说学生的恒等变形的能力差。

（2）功能浅说：变形是简解、巧解、妙解、美解的发生器和生长点，是培养创新意识与创新能力的重要载体。 （3）例子微观：

2x例1（2014年广州一模（理）题）已知函数fxx2x1e（其中e为自然对

数的底数）．

（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）定义：若函数hx在区间s,tst上的取值范围为s,t，则称区间s,t为 函数hx的“域同区间”．试问函数f(x)在1,上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

解（标准答案）：（1）从略；

（2）假设函数f(x)在1,上存在“域同区间”[s,t](1st)，

由（1）知函数f(x)在1,上是增函数，

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(s1)2ess,f(s)s,所以 即 2tf(t)t.(t1)et.2x也就是方程(x1)ex有两个大于1的相异实根．

设g(x)(x1)2exx(x1)，则g(x)(x21)ex1．

2x设hxg(x)(x21)ex1，则hxx2x1e．

因为在(1,)上有hx0，所以hx在1,上单调递增． 因为h110，h23e10，

2即存在唯一的x01,2，使得hx00．

当x1,x0时，hxgx0，即函数g(x)在1,x0上是减函数； 当xx0,时，hxgx0，即函数g(x)在x0,上是增函数． 因为g110，g(x0)g(1)0，g(2)e220， 所以函数g(x)在区间1,上只有一个零点．

这与方程(x1)ex有两个大于1的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数f(x)在1,上不存在“域同区间”． 巧解：同标准解法得：也就是方程(x1)22xexx有两个大于1的相异实

根，也即ex1(x1)2xex2有两个大于1的相异实根，，

xx易见这是不可能的，

故函数f(x)在1,上不存在“域同区间”．

可见，一个适当的变形，就可生长出巧解、妙解，不仅省时省力，

而且价值连城！

x2y21交于例2（2011年山东高考题）已知动直线l与椭圆C：326，其中O为坐标原点． Px1,y1,Qx2,y2两不同点，且OPQ的面积SOPQ222（Ⅰ）证明：x1x2和y12y22均为定值；

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（Ⅱ）设线段PQ的中点为M，求OMPQ的最大值；

（Ⅲ）椭圆C上是否存在三点D,E,G，使得SODESODGSOEG6？若存在， 2判断DEG的形状；若不存在，请说明理由．

该题结构简洁、通俗易懂、形式优美、内涵深刻，是一道十分优美的高考解几题．其标准答案给出的解法虽然是通法，但带给我们的除了“解析几何题”等价于“大计算量”恐惧感外，并没有体现出该题的“内在美”，相反的让人“望题生厌”，下面来看该题的一种优美解法：

解：（Ⅰ）因为Px1,y1,Qx2,y2，所以

SOPQ211OPOQsinOP,OQ(OPOQ(OPOQ)2． 22 1122(x12y12)(x2y2)(x1x2y1y2)2x1y2x2y1 22又SOPQ6，所以x1y2x2y16， 22222又由柯西不等式得x1y2x2y1(x1x2)(y12y2)， 222所以(x1x2)(y12y2)6 ①

当且仅当x1x2y1y20时，等号成立．

x2y21上，所以 因为点Px1,y1,Qx2,y2在椭圆C：3222x12y12x2y21，1，从而由均值不等式得 32322222x12x2y12y2x12x2y12y2223232222所以(x1x2)(y12y2)6 ② 22x12x2y12y2当且仅当时，等号成立． 32，

由①、②得(x1x2)(y1y2)6，即不等式②的等号成立，于是由不等式②的等号成立的条件得x1x23，y1y22，故x1x2和y12y22均为定值．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知x1x23，y1y22，所以

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222222222222224OM2PQ2(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(y1y2)2

222 2(x1x2)2(y12y2)10，

所以 2OMPQ4OMPQ222所以OMPQ5，

55，当且仅当OM，225PQ5时，等号成立．故OMPQ的最大值为．

2（Ⅲ）假设椭圆C上是否存在三点D(x3,y3),E(x4,y4),G(x5,y5)，使得

SODESODGSOEG62222成立，则由（Ⅰ）知：x3x43， x4x53， 222222，又D(x3,y3),E(x4,y4),G(x5,y5)为不同的三点，所以x5x33，所以x3x4x5在x3,x4,x5中，只能有两个相等另一个为其相反数，不妨设x3x4，x5x4，则由椭圆的对称性知D,O,G或E,O,G三点共线，这与ODGOEG存在满足条件的三点D,E,G．

上述优美解法的获得正是从三角形面积公式的变形开始的，途中既没有联立方程组的繁

琐运算，又避免了分类讨论．特别是这种解法不仅揭示了该题的本质结构特征及其“内在美”，而且也充分体现了用代数手段去研究几何图形性质的方法的多样性，令人拍手称绝。一个优美的解法之所以优美，不仅仅是简解、美解了原题，而且往往还可以将原题加以推广，得到更一般的问题，由上述优美解法很容易地得到下列

6矛盾．故椭圆C上不2x2y2命题 已知动直线l与椭圆C：221(ab0)交于Px1,y1,Qx2,y2两不

abab同点，且OPQ的面积OPQ，其中O为坐标原点，M为线段PQ的中点．则

222（Ⅰ）x12x22a，y12y22b；

a2b2（Ⅱ）OMPQ．

2例3（2011年广东高考题）设b0,数列an满足a1b，an（Ⅰ）求数列an的通项公式；

nban1 (n2)．

an12n2bn1（Ⅱ）证明：对于一切正整数n，ann11.

2大众反响：2011年广东题很难，文科题像理科题，而理科题像竞赛题．

实事求是：第（Ⅰ）理应不难，该题应难在第（Ⅱ）问，但第（Ⅱ）问，当b2时，

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(b2)nbnbn1n11 ①，用公式anbnab(an1an2b…原不等式等价于nnb22abn2bn1）（※）变形后，①又等价于

bn12bn2nbnbn1n11 ②，n2n12b22再用均值不等式去证②还难吗？若不给出公式（※），本题才称得上真正的难题。那如何求

解呢？还是恒等变形，妙解如下：

当b2时，由第（Ⅰ）问的求解过程可知：

nbn2nnan(b2)b12n•bbn12121bb21bn12n2n11121212bbbbbbbn12

n22bb，所以an22b2n11，不等式获证．

事实上，公式（※）也可以通过这种恒等变形而得到： （1）当a0或b0或ab时，公式（※）显然成立； （2）当a0且b0且ab时，

bn112n1abbbbbnnnnaba1a11 baaaaa1a (ab)(an1an2bbn1)

综上所述，公式（※）成立获证．

（4）导向：在解题教学中，尤其在高三复习中，专家们一再强调：“注重通性通法，淡化特殊技巧”，一谈巧解、妙解、简解，老师们一般都是反对声一片或怨声载道，学生怎么能想得到呀！… （5）考场回放：在重大考试中，凡是得高分的考生，有几个是用通性通法去解决难题的，若题题都用通性通法去求解，就算题题都会解，可能时间也不够用。 （6）个人浅见：在解题教学中，注重“通性通法”，但决不忘记“特殊技巧”，理由有三：①特殊技巧能展现数学美，体会到成就感，从而导致对数学美的追求，对数学产生浓厚 兴趣；

②特殊技巧并非都是高不可攀，若从不谈特殊技巧，本来并不是什么技巧的一般技术也变成了技巧，反之，谈的多了、经常用了本是很强的技巧就变成了很平凡的技术。正如“世上本没有路，但走的人多了也就成了路”。

n121例如：证明不等式2。学生想到了，由于1，所以只

7k(k1)4k4k1k1k1n需证

12，这是显然的！ 24k4k17k(k1)5 / 14

111n11。学生联想到，n11 34n21n1n，只要证(21)(32)(n1n)，所以只要证

n2又如：证明不等式

1n21n1n，只要证2n42n12n，只要证[(n1)1](n1)1

2n12n，这又是显然的！

③世界著名数学难题的解决，有哪个不是靠的技巧！例如：陈景润的“12”、费马大定理的证明、庞加莱猜想的解决等无一不是靠的技巧，而且都是非常高深的技巧。若从不谈技巧的教学，未来怎么能出数学家，尽管数学家是极少数人，但还是需要我们数学老师去培养。

3.变法：改变概念、公式、定理的生成或证明的方法

（1）两类课堂：

①“体现”新课程理念的课堂教学：创设情境、合作探究、学生主体与教师主导（实际上以老师为主的多）；

②学案教学：把概念、公式、定理的关键字词抽出来，让学生填空，老师既不讲（或很少讲）概念、公式、定理是如何生成的，也不讲概念、公式、定理的证明，让学生一填了之，然后就是大规模的习题演练。 （2）三点反思：

①对新课程理念的教学现已有了不少的质疑声：创设情境（尤其是一些稀奇古怪的情景设计）有必要吗？每个教学内容都适合学生探究吗？老师讲的越少越好吗？…

②学案教学有其好的一面，但学案教学将数学中火热的思考变成了冰冷的死水一潭，甚至使数学学科变成了一门不讲理的学科，这样的数学教学是十分危险的，因此，学案教学也开始遭到了有责任心、有良心的专家（包括数学家）们的反对！

③面对这种形势，我们在教学中能做些什么？能不能有些改变？

二、案例浅说

案例一：关于圆锥曲线概念的教学

关于圆锥曲线的教学一直是人们关注的焦点，更是各种赛课、说课、研讨课、试教课等公开课及教研课题的首选内容之一，在教学中，一般都遵循“椭圆→双曲线→抛物线”这一教材思路，各个击破，因而在引出各种圆锥曲线的概念时，基本上都是从现实生活中的例子去设计教学情境．然而，数学发展史表明，数学的向前发展，一方面来自现实社会发展的需要，另一方面是源于数学内部的矛盾运动．那么能否从数学内部出发，比较自然的生成各种圆锥曲线的概念？2010年我在教学这部分内容时，根据这一思想进行了一堂研究性学习课，该堂课是这样展开的：

师：在平面内，到一个定点的距离等于常数的点的轨迹是什么？ 生（异口同声的）：圆！ 师：很好！

师：我们异想天开的来想一想：在平面内，如果有一个动点到两个定点的距离满足某个．．条件，那么这个动点的轨迹可不可以还是圆？ 生：议论纷纷，但无结果。

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师：若动点P到两个定点A,B的距离相等，即PAPB，那么动点P的轨迹是什么？ 生（异口同声的）：线段AB的垂直平分线！

师：若动点P到两个定点A,B的距离满足PA2PB，PA1PB，PAPB2（0，且1），那么动点P的轨迹分别是什么？ 师：电脑演示，轨迹均为圆。

至此，圆的第二定义也就诞生了：平面内，到两个定点的距离的比为一个不等于1的常数的点的轨迹叫做圆．接下来，进行变式，提出一个个问题：平面内，到两个定点的距离的和、差、积为一个常数，动点的轨迹又将是什么？进一步变式，若把一个定点改成定直线呢？就这样在同学们议论纷纷的声音中，在充满期待的向往里，在数学内部的矛盾作用下，各种圆锥曲线的概念自然的诞生了！

案例二：关于直线与平面平行的判定定理的教学

“直线与平面平行的判定定理”是空间直线与平面的位置关系的第一个定理，新课标教材对这一定理的证明不作要求．然而，我们在教学中发现，许多老师在教学该定理时，不仅既不讲该定理的证明也不探究该定理的生成过程，而且对该定理为真所必要的说明也只字不提，只是将该定理中的一些关键字词抽出来“一填了之”，然后就是大规模的定理应用．事实上，按新课程标准，对定理不要求证明，并不等于不作说明，若对定理为真所必要的说明也没有了，那么数学就变成了一门不讲理的学科了，这样的数学教学将是十分危险的！其实该定理的证明并不难，若不去证明只说明其为真则更易，我在教学该定理时是如下处理的（教学实录）：

师：要判定直线a与平面平行，只要判定——

生：直线a与平面没有公共点．

师：那如何判定直线a与平面没有公共点呢？（学生一脸茫然，不知所措！大约1

分钟后） 师：不好办吧！请同学们回忆一下，我们已经知道直线a与“？”一定是没有公共点的？

（大约1分钟后）

生1：直线a与和它异面的直线b一定是没有公共点的或直线a与和它平行的直线b也

一定是没有公共点的！

师：很好！这样一来，我们不妨大胆的来猜一猜：若直线a与平面内的一条直线b异

面，能否推出直线a与平面没有公共点？ 生（部分）：能吧？ a生（部分）：不能！

b师：生2你来说一说为什么不能？

a生2：这很简单，举一个反例就成了！如图1，a与b是异面

图1直线，但a与有公共点．

师：真妙！要否定一个结论，只要举一个反例就成了．同学们清楚了吗？ 生：清楚了！

师：若直线a与平面内的一条直线b平行呢？又能否推出直线a与平面没有公共

点？（巡堂发现：同学们在画各种图形，也想举一个反例来否定上述结论，但均没有成功，大约2分钟后）

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生：能！（很肯定的） 师：为什么？

生：没有找到反例！

师：没有找到反例就能说明直线a与平面没有公共点？假若那样的反例大家都没有

找到呢？ 生：是啊！

师：因此，要肯定一个结论，一定要说明理由才行！生3，你来说说理由看？ 生3：还没想好！（其余同学在积极思考） 师：如图2，由a//b，可推出什么结论？ a生3：过a,b可确定一个平面．

师：很好!大家看，在确定了平面后，直线a与平

a图2b面就“天各一方”（学生大笑）！但它们并不“孤单”（学生又笑），因为与有

一条公共直线b相连，真所谓“天各一方——一线牵”啊！就好像“与天

各一方由空中航线相连”一样（课堂气氛达到高潮）．这样一来，要说明直线a与平面没有公共点，只要说明——

生：直线a与直线b没有公共点即可！而a//b，所以直线a与直线b没有公共点，从

而直线a与平面没有公共点，故a//．

师：太好了！这样一来，我们就得到了一个什么结论？

生：如果直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行． 师：如图3，也能推出a//吗？

a生（恍然大悟的）：不能！

师：没想到吧！前述结论应修改为—— ba生：如果平平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，

图3那么这条直线与这个平面平行．

师：很好！这就是我们今天要学的“直线与平面平行的判定定理”（下面的课从略）． 在上述定理的教学过程中，从学生熟知的“直线a与和它异面的直线b一定是没有公共点或直线a与和它平行的直线b也一定是没有公共点”出发，通过“猜想——实验（画图）——概括”等过程，比较自然的得出结论．尤其是通过“天各一方——一线牵”的“艺术化”处理后，定理为真的事实已一目了然，对定理是否再需证明已不是很重要了．

实践反复证明，重结果、轻过程的数学教学是十分危险的，轻者导致结果易忘、易走弯路；重者数学让人生厌、危及人的发展．既重结果、又重过程、更重发现，才是正确的数学教学观，这也是新课标对每一位中学数学教师的期望．

案例三：关于等比数列前n项和的公式的教学

大家知道，“错位相减”是推导等比数列前n项和公式的核心技术，并由此出发得到了“错位相减求和法”．然而如何想到“错位相减”来推导等比数列前n项和公式，长期以来困扰着广大的中学教师，至今仍有不少老师在研究这一问题，并在核心期刊上发表研究成果（我见过这一问题的论文不下10篇）。既然如此，我们不禁要问：有没有可以替代“错位相减法”的方法？我最近考虑了这一问题。

1．等比数列前n项和公式的新推导

设等比数列an的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则

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（1）当q1时，Snna1；（2）当q1时，akakak1(k1,2,3,)，于是

1qSna1a2a3an(a1a2)(a2a3)(a3a4)(anan1)

1qna1，q1a1an1a1(1qn)n ．综上所述，Sna1(1q)． ,q11q1q1q2．形如an•bn型的数列前n项和的新求法

例4（2012辽宁理）已知等差数列an满足a20，a6a810．

（Ⅰ）求数列an的通项公式；（Ⅱ）求数列解析：（Ⅰ）an2n，解法从略； （Ⅱ）设数列令

an的前n项和． n12an2nan的前项和为．由（Ⅰ）知，，所以． Sa2nnnnn1n1n12222nA(n1)BAnB，则整理，得 n1n1n2222nAnB2A42nAnB2A，即，比较两边的系数，得 2n12n2n2nA2，解得A2,B0，从而 B2A4an2n-2(n1)2n2n2(n1)nn，所以 n1n1n1n1222222Sna1aa2a32nn2221

2422n2(n1)(0)(2)(32)[n]n122222222nn． 2n2n1 3．一般结论

定理 若an是公差为d(d0)的等差数列，bn是公比为q(q1)的等比数列，则数列an•bn的前n项的和Sn1dq(a1b1an1bn1)(b1bn1)． 1q(1q)29 / 14

4．拓广应用

n2n例5 已知an，求数列an的前n项的和Sn。 n1(2)n2nA(n1)2B(n1)CAn2BnC解析：令，则整理，得 (2)n1(2)n1(2)n2n22n3An2(4A3B)n2A2B3C，比较两边的系数，得 nn(2)(2)3A221416,C，解得A,B，从而 4A3B239272A2B3C021416221416(n1)2(n1)nnnn39273927，所以 ann1n1n(2)(2)(2)221416nn163927。 Sna1a2an27(2)n2案例四：关于《不等式选讲》的教学——从一个简单不等式到两个

著名不等式

1．一个简单不等式

2 设xR，则x0，当且仅当x0时，等号成立．

2．从简单不等式出发

（1）取特值：令xab(a,bR)，则得 定理1 若a,bR，则ab2ab

22①

当且仅当ab时，等号成立．

不等式①是一个优美的不等式，它具有特征：每一项的次数是2；变元的个数是2；右边的系数是2．简称为“三个不同的2”． （2）类比：类比猜想具有“三个不同的3”的特征的不等式，易得

a3b3c33abc．

类比得出的结论不一定正确，上述不等式成立还需证明，证明后即得（推广了书上结论）

333定理2 若a,b,cR，且abc0，则abc3abc ②

当且仅当abc0或abc时，等号成立．

不等式①、②统称为基本不等式．

再进一步猜想具有“三个不同的4”的特征的不等式，即得

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若a,b,c,dR，则a4b4c4d44abcd． 当且仅当abcd时等号成立．

… … … … …

（3）加强条件：设 a,b,cR，则由不等式①、②，易得

ab2ab ③ 当且仅当ab时，等号成立．

不等式③即为二元均值不等式．

abc33abc ④

当且仅当abc时，等号成立．

不等式④即为三元均值不等式． （4）推广：

定理3 设a1,a2,,anR(nN*,n2)nain，则 i1nnaii1当且仅当a1a2an时，等号成立．

不等式⑤即为著名的（n元）均值不等式． （5）变式：

变式Ⅰ：从不等式①出发：设 a,b,cR，易得

2

aba2b22 ⑥ abca2b2c233 ⑦ 变式Ⅱ：从不等式③、④出发：分别可得

211ab ⑧

ab31113abc ⑨

abc将不等式③、⑥、⑤和④、⑦、⑨分别连起来得（不等式链）：

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⑤

aba2b2ab 1122ab23abc3abc1113abc 推广即得：

定理4 设a1,a2,,anR(nN*,n2)，则

a2b2c2

3ni1n1aini1n1ainnnai1ni1nai2 ⑩

当且仅当a1a2an时，等号成立．

不等式⑩即为：调和平均几何平均算术平均平方平均． 变式Ⅲ：从不等式⑤出发：可得

an•aini1i1nni，

i1naiaii1 nnn 由此即得

定理5（最值定理） （1）若n个正数的积是一个定值，则当且仅当这n个正数相等时，它们的和有最小值；

（2）若n个正数的和是一个定值，则当且仅当这n个正数相等时，它们的积有最大值． 3．课堂练习

题目（人教A版教材选修45《不等式选讲》P10,T8）已知（基本不等式①的应用） ax1．

iii1xai1x2i1，

xi1x2i1．

求证：

变式1（条件不变，加强结论）：若

ai1x2i1，

xi1x2i1．那么

axii1xxi1是否

仍成立？（基本不等式①的加强应用，即ab2ab的应用）

22变式2（改变条件，变换结论形式）：已知

ai1x2i2，

xi1x2i1．求

ax的最

iii112 / 14

大值．（原解法失效，须先变换条件，意在强化取等号的条件）

变式3（将条件一般化）：已知

最大值．

略解：由已知条件得

22ai1x2iA(0)，

xi1x2iB(0)．求

ax的

iii1xi1xai1，A2i1xxi1．由基本不等式①得 B2aixi2aixiaixi(i1,2,,n)(i1,2,,n)时等，当且仅当ABABAB号成立．

将上述n个不等式相加，得

i1xaiA2i1xxi2B，即xi2i1naixiAB，化简得

axiii1xAB．

当且仅当

aiAxiBBAai(i1,2,,n)时等号成立．

变式4（将条件一般化，进一步变换结论形式）：已知

i1xai2A(0)，

i1xxi2B(0)．求

axii1xxi的最大值．

变式5：由变式4的结论，你有什么发现？

变式4的结论：

axii1iAB，两边平方得i1xaixiAB，即

2i1xaixi2i1x2ai•i1xx． 2i至此，著名的柯西不等式也就诞生了！

定理6（cauchy不等式） 设ai,biR(i1,2,,n)，则

i1xaibi2i1xa•2ii1xb． 2i当且仅当ai0(i1,2,,n)或存在常数R使biai(i1,2,,n)时，等号成立．

三、结束语

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变式教学有利于培养学生的发散性思维和创新能力； 变式教学有利于构建知识网络，达成融会贯通； 变式教学永不过时；

变式教学是年轻教师成长的助推器；

变式教学是衡量一个教师是否成熟的标准之一； 变式教学是教学研究的出发点；… …

选择变式教学作为教研专题很有意义，说明张校长远瞩！由于本人水平有限，错误在所难免，敬请批评指正，对于没有涉及的地方，期待与大家共同研究，谢谢！

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