建安区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

建安区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 设实数

，则a、b、c的大小关系为（ ）

A．a＜c＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c

2． 已知向量=（1，2），=（x，﹣4），若∥，则x=（ ） A． 4 B． ﹣4 C． 2 D． ﹣2

ABC上的射影为BC的中点， 3． 已知三棱柱ABCA1B1C1 的侧棱与底面边长都相等，A1在底面

则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）

3357 B． C. D．

4444x4． 函数fxalogax1有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

A．

A．1,10 B．1, C．0,1 D．10, 5． 某工厂产生的废气经过过虑后排放，过虑过程中废气的污染物数量P（单位：毫克/升）与时间t（单位：

ktk小时）间的关系为PP．如果前5个小时消除了10%的污染物，为了消除27.1% 0，均为正常数）0e（P的污染物，则需要（ ）小时. A.8

B.10

C. 15

D. 18

【命题意图】本题考指数函数的简单应用，考查函数思想，方程思想的灵活运用，体现“数学是有用的”的新课标的这一重要思想.

6． 已知角α的终边上有一点P（1，3），则

的值为（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣4

7． 一个圆的圆心为椭圆的右焦点，且该圆过椭圆的中心交椭圆于P，直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线，则椭圆的离心率为（ ） A．

B．

C．

D．

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精选高中模拟试卷

8． PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据（单位：毫克/每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是（ ）

A．甲 B．乙 C．甲乙相等 D．无法确定

B．必要不充分条件

9． “a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的（ ） A．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

10．函数f(x)(xÎR)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)=íìïx(1-x),0＃x1，则

ïîsinpx,116161616【命题意图】本题考查函数的奇偶性和周期性、分段函数等基础知识，意在考查转化和化归思想和基本运算能力．

11．已知等比数列{an}的公比为正数，且a4•a8=2a52，a2=1，则a1=（ ） A．

B．2

C．

D．

12．若函数y=ax﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A．a＞1且b＜1 B．a＞1且b＞0 C．0＜a＜1且b＞0

D．0＜a＜1且b＜0

二、填空题

13．若实数x，y满足x+y﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ．

14．已知条件p：{x||x﹣a|＜3}，条件q：{x|x2﹣2x﹣3＜0}，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是 ．

15．函数f（x）=

2

2

（x＞3）的最小值为 ．

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精选高中模拟试卷

16．椭圆+=1上的点到直线l：x﹣2y﹣12=0的最大距离为 ．

17．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n的值等于_________.

18．设f′（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，开始f（﹣2）=0，当x＞0时，xf′（x）﹣f（x）＞0，则使得f（x）＞0成立的x的取值范围是 ．

n1三、解答题

19．已知函数f（x）=x+x．

3

S5,T1ST？ （1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论；否（2）求证：f（x）是R上的增函数；

是SS4 （3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．3322 2T（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））T

输出 n结束

nn120．已知数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3n（n∈N*，p为常数），a1，a2+6，a3成等差数列． （1）求p的值及数列{an}的通项公式； （2）设数列{bn}满足bn=

21．设定义在（0，+∞）上的函数f（x）=

，g（x）=

*

，其中n∈N

，证明bn≤．

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值及函数g（x）的单调区间；

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精选高中模拟试卷

y=c（Ⅱ）若存在直线l：（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧，求n的最大值．（参考数据：ln4≈1.386，ln5≈1.609）

22．（14分）已知函数f(x)mxalnxm,g(x)（1）求g(x)的极值； 3分

（2）设m1,a0，若对任意的x1,x2[3,4](x1x2)，f(x2)f(x1)5分

（3）设a2，若对任意给定的x0(0,e]，在区间(0,e]上总存在t1,t2(t1t2)，使得f(t1)f(t2)g(x0) 成立，求m的取值范围． 6分

23．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．

（I）当a=3时，求函数f（x）在[，2]上的最大值和最小值； （Ⅱ）函数f（x）既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．

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xex1，其中m，a均为实数．

11恒成立，求a的最小值； g(x2)g(x1)精选高中模拟试卷

24．（本小题满分10分）

已知函数fxxax2．

（1）若a4求不等式fx6的解集；

（2）若fxx3的解集包含0,1，求实数的取值范围．

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精选高中模拟试卷

建安区二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：∵∴a＜c＜b． 故选：A．

2． 【答案】D

【解析】： 解：∵∥， ∴﹣4﹣2x=0，解得x=﹣2． 故选：D． 3． 【答案】D 【解析】

0.10

，b=2＞2=1，0＜

0

＜0.9=1．

考

点：异面直线所成的角. 4． 【答案】B 【解析】

1试题分析：函数fx有两个零点等价于y与ylogax的图象有两个交点，当0a1时同一坐标

a系中做出两函数图象如图（2），由图知有一个交点，符合题意；当a1时同一坐标系中做出两函数图象如图

（1），由图知有两个交点，不符合题意,故选B.

x第 6 页，共 16 页

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y2y211-3-2-1-1O123x-4-3-2-1-1O1234x-2-2

（1） （2）

考点：1、指数函数与对数函数的图象；2、函数的零点与函数交点之间的关系.

【方法点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的图象、函数的零点与函数交点之间的关系.属于难题.判断方法：函数yfx零点个数就是方程fx0根的个数，结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周程yfx零点个数的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化期性、对称性） 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数ygx,yhx的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为ya,ygx的交点个数的图象的交点个数问题.本题的解答就利用了方法③. 5． 【答案】15 【

解

析

】

6． 【答案】A

【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上， ∴tanα=3， ∴

故选：A．

7． 【答案】D

【解析】解：设F2为椭圆的右焦点

由题意可得：圆与椭圆交于P，并且直线PF1（F1为椭圆的左焦点）是该圆的切线， 所以点P是切点，所以PF2=c并且PF1⊥PF2．

=

=

=

=﹣．

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又因为F1F2=2c，所以∠PF1F2=30°，所以根据椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a， 所以|PF2|=2a﹣c． 所以2a﹣c=故选D．

．

，所以e=

．

【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握直线与圆的相切问题，以即椭圆的定义．

8． 【答案】A

【解析】解：根据茎叶图中的数据可知，甲地的数据都集中在0.06和0.07之间，数据分别比较稳定， 而乙地的数据分布比较分散，不如甲地数据集中， ∴甲地的方差较小． 故选：A．

【点评】本题 考查茎叶图的识别和判断，根据茎叶图中数据分布情况，即可确定方差的大小，比较基础．

9． 【答案】A

【解析】解：由“a＞b，c＞0”能推出“ac＞bc”，是充分条件，

由“ac＞bc”推不出“a＞b，c＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac＞bc，但是a＜b，c＜0， 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题

10．【答案】C

11．【答案】D

【解析】解：设等比数列{an}的公比为q，则q＞0，

222

∵a4•a8=2a5，∴a6=2a5， 2

∴q=2，∴q=

， =

．

∵a2=1，∴a1=故选：D

12．【答案】B

【解析】解：∵函数y=a﹣（b+1）（a＞0，a≠1）的图象在第一、三、四象限，

x

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0

∴根据图象的性质可得：a＞1，a﹣b﹣1＜0，

即a＞1，b＞0， 故选：B

二、填空题

13．【答案】10

【解析】

【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

2222

【解答】解：方程x+y﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）+（y+2）=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距，

经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大， 最大值为：10． 故答案为：10．

14．【答案】 [0，2] ．

【解析】解：命题p：||x﹣a|＜3，解得a﹣3＜x＜a+3，即p=（a﹣3，a+3）；

2

命题q：x﹣2x﹣3＜0，解得﹣1＜x＜3，即q=（﹣1，3）．

∵q是p的充分不必要条件， ∴q⊊p， ∴

，

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解得0≤a≤2， 故答案为：[0，2]．

则实数a的取值范围是[0，2]．

【点评】本题考查了绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、充分必要条件的判定与应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

15．【答案】 12 ．

【解析】解：因为x＞3，所以f（x）＞0 由题意知：

=﹣

=t﹣3t2

令t=∈（0，），h（t）=

2

因为 h（t）=t﹣3t 的对称轴x=，开口朝上知函数h（t）在（0，）上单调递增，（，）单调递减；

故h（t）∈（0，由h（t）=

]

≥12

⇒f（x）=

故答案为：12

16．【答案】 4 ．

【解析】解：由题意，设P（4cosθ，2则P到直线的距离为d=当sin（θ﹣

sinθ）

=

，

，

）=1时，d取得最大值为4

故答案为：4．

17．【答案】6

【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，S9,T2,n2,ST；第2次运行后，

S13,T4,n3,ST；第3次运行后，S17,T8,n4,ST；第4次运行后，S21,T16,n5,ST；第5次运行后，S25,T32,n6,ST，此时跳出循环，输出结果n6程

序结束．

18．【答案】 （﹣2，0）∪（2，+∞） ．

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【解析】解：设g（x）=g′（x）=

，

，则g（x）的导数为：

∵当x＞0时总有xf′（x）﹣f（x）＞0成立， 即当x＞0时，g′（x）＞0，

∴当x＞0时，函数g（x）为增函数， 又∵g（﹣x）=

=

=

=g（x），

∴函数g（x）为定义域上的偶函数， ∴x＜0时，函数g（x）是减函数， 又∵g（﹣2）=

=0=g（2），

∴x＞0时，由f（x）＞0，得：g（x）＞g（2），解得：x＞2， x＜0时，由f（x）＞0，得：g（x）＜g（﹣2），解得：x＞﹣2， ∴f（x）＞0成立的x的取值范围是：（﹣2，0）∪（2，+∞）． 故答案为：（﹣2，0）∪（2，+∞）．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴m+1＜3﹣2m， ∴

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20．【答案】

n*

【解析】（1）解：∵数列{an}满足a1=3，an+1=an+p•3（n∈N，p为常数），

∴a2=3+3p，a3=3+12p，

∵a1，a2+6，a3成等差数列．∴2a2+12=a1+a3，即18+6p=6+12p 解得p=2．

n

∵an+1=an+p•3，

2n1

∴a2﹣a1=2•3，a3﹣a2=2•3，…，an﹣an﹣1=2•3﹣，

将这些式子全加起来 得 an﹣a1=3n﹣3，

n

∴an=3．

（2）证明：∵{bn}满足bn=设f（x）=

，则f′（x）=

，∴bn=．

，x∈N，

*

令f′（x）=0，得x=当x∈（0，

∈（1，2）

，+∞）时，f′（x）＜0，

）时，f′（x）＞0；当x∈（

且f（1）=，f（2）=，

*

∴f（x）max=f（2）=，x∈N．

∴bn≤．

【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）函数f（x）在区间（0，+∞）上不是单调函数．证明如下，

，

令 f′（x）=0，解得

．

当x变化时，f′（x）与f（x）的变化如下表所示： x f′（x） f（x） + ↗ 0 ﹣ ↘ 上为单调递增，区间

所以函数f（x）在区间上为单调递减．

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所以函数f（x）在区间（0，+∞）上的最大值为f（g′（x）=

，令g′（x）=0，解得x=n．

）==．

当x变化时，g′（x）与g（x）的变化如下表所示： x n （0，n） （n，+∞） g′（x） g（x） ﹣ ↘ 0 + ↗ 所以g（x）在（0，n）上单调递减，在（n，+∞）上单调递增． （Ⅱ）由（Ⅰ）知g（x）的最小值为g（n）=

，

∵存在直线l：y=c（c∈R），使得曲线y=f（x）与曲线y=g（x）分别位于直线l的两侧， ∴即e

≥

n+1

，

≥nn﹣1，即n+1≥（n﹣1）lnn，

当n=1时，成立， 当n≥2时，设h（n）=

≥lnn，即

，n≥2，

≥0，

则h（n）是减函数，∴继续验证， 当n=2时，3﹣ln2＞0， 当n=3时，2﹣ln3＞0， 当n=4时，

，

当n=5时，﹣ln5＜﹣1.6＜0， 则n的最大值是4．

【点评】本题考查了导数的综合应用及恒成立问题，同时考查了函数的最值的求法，属于难题．

e(1x)22．【答案】解：（1）g(x)，令g(x)0，得x = 1． xe列表如下：

x g(x) （∞，1）  1 0 （1，∞）  第 13 页，共 16 页

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g（x） ↗ 极大值 ↘

∵g（1） = 1，∴y =g(x)的极大值为1，无极小值． 3分 （2）当m1,a0时，f(x)xalnx1，x(0,)．

1exex1(x1)xa∵f(x)，∵h(x)> 00在[3,4]恒成立，∴f(x)在[3,4]上为增函数． 设h(x)g(x)exxx2在[3,4]恒成立，

∴h(x)在[3,4]上为增函数． 设x2x1，则f(x2)f(x1)于f(x2)f(x1)h(x2)h(x1)， 即f(x2)h(x2)f(x1)h(x1)．

11等价g(x2)g(x1)1ex设u(x)f(x)h(x)xalnx1，则u（x）在[3,4]为减函数．

exa1ex(x1)ex1x1∴u(x)1恒成立． ≤0在（3，4）上恒成立． ∴a≥xexex2xex1ex1(x1)1123x1x1x1设v(x)xe，∵v(x)1e=1e[()]，x[3，4]，

x24xx21133∴ex1[()2]e21，∴v(x)< 0，v(x)为减函数．

x2442∴v(x)在[3，4]上的最大值为v（3） = 3 e2．

322∴a≥3 e2，∴a的最小值为3 e2． 8分

33（3）由（1）知g(x)在(0,e]上的值域为(0,1]．

∵f(x)mx2lnxm，x(0,)，

当m0时，f(x)2lnx在(0,e]为减函数，不合题意．

2m(x)m，由题意知f(x)在(0,e]不单调， 当m0时，f(x)x22所以0e，即m．①

me22此时f(x)在(0,)上递减，在(,e)上递增，

mm3∴f(e)≥1，即f(e)me2m≥1，解得m≥．②

e13由①②，得m≥．

e12 ∵1(0,e]，∴f()≤f(1)0成立．

m第 14 页，共 16 页

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2下证存在t(0,]，使得f(t)≥1．

m2取tem，先证em，即证2emm0．③

m3设w(x)2exx，则w(x)2ex10在[,)时恒成立．

e133∴w(x)在[,)时为增函数．∴w(x)≥w()0，∴③成立．

e1e1再证f(em)≥1．

33∵f(em)memmm≥时，命题成立． 1，∴m≥e1e13综上所述，m的取值范围为[,)． 14分

e123．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）a=3时，f′（x）=﹣2x+3﹣=﹣=﹣，

函数f（x）在区间（，2）仅有极大值点x=1，故这个极大值点也是最大值点， 故函数在[，2]最大值是f（1）=2，

又f（2）﹣f（）=（2﹣ln2）﹣（+ln2）=﹣2ln2＜0，故f（2）＜f（）， 故函数在[，2]上的最小值为f（2）=2﹣ln2．

2

（Ⅱ）若f（x）既有极大值又有极小值，则必须f′（x）=0有两个不同正根x1，x2，即2x﹣ax+1=0有两个不

同正根． 故a应满足

⇒

⇒

，

．

∴函数f（x）既有极大值又有极小值，实数a的取值范围是

24．【答案】（1）,06,；（2）1,0. 【解析】

试题分析：（1）当a4时，fx6，利用零点分段法将表达式分成三种情况，分别解不等式组，求得解集为,0试题解析：

恒成立，即1a0.

6,；（2）fxx3等价于xa2x3x，即1xa1x在0,1上

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（1）当a4时，fx6，即解得x0或x6，不等式的解集为,0x2x42x4或或，

4x2x64xx26x4x266,；

点：不等式选讲．

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考