正比例函数的图象和性质【公开课教案】

第1课时 正比例函数的图象和性质

一、学生起点分析

八年级学生已在七年级学习了“变量之间的关系”，对利用图象表示变量之间的关系已有所认识，并能从图象中获取相关的信息，对函数与图象的联系还比较陌生，需要教师在教学中引导学生重点突破函数与图象的对应关系．

二、教学任务分析

《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大实验教科书八年级（上）第

六章《一次函数》的第三节．本节内容安排了2个课时，第1课时是让学生了解函数与对象的对应关系和作函数图象的步骤和方法，明确一次函数的图象是一条直线，能熟练地作出一次函数的图象。第2课时是通过对一次函数图象的比较与归类，探索一次函数及其图象的简单性质．本课时是第一课时，教材注重学生在探索过程的体验，注重对函数与图象对应关系的认识．

为此本节课的教学目标是:

1．了解一次函数的图象是一条直线， 能熟练作出一次函数的图象． 2．经历函数图象的作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．

3．已知函数的代数表达式作函数的图象，培养学生数形结合的意识和能力． 4．理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．

教学重点是:

初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．

教学难点是:

理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系．

三、教学过程设计

本节课设计了七个教学环节： 第一环节：创设情境 引入课题；

第二环节：画一次函数的图象； 第三环节：动手操作，深化探索； 第四环节：巩固练习，深化理解； 第五环节：课时小结； 第六环节：拓展探究； 第七环节：作业布置．

第一环节：创设情境 引入课题 内容：

一天，小明以80米/分的速度去上学，请问小明离家的距离S（米）与小明出发的时间t（分）之间的函数关系式是怎样的？它是一次函数吗？它是正比例函数吗？ S=80t（t≥0）

下面的图象能表示上面问题中的S与t的关系吗？ 我们说，上面的图象是函数S=80t（t≥0）的图象,这

O 1 80 S（米）t（分）

就是我们今天要学习的主要内容：一次函数的图象的特殊情况正比例函数的图象。

目的：通过学生比较熟悉的生活情景，让学生在写函数关系式和认识图象的过程中，初步感受函数与图象的联系，激发其学习的欲望．

效果：学生通过对上述情景的分析，初步感受到函数与图象的联系，激发了学生的学习欲望．

第二环节：画正比例函数的图象

内容：首先我们来学习什么是函数的图象？

把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象（graph）．

例1 请作出正比例函数y=2x的图象． 解：列表:

x … -2 -1 0 1 2 … y=2x … -4 -2 0 2 4 … 描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点． 连线：把这些点依次连结起来，得到y=2x的图象． 由例1我们发现：作一个函数的图象需要三个步骤： 列表，描点，连线．

目的：通过本环节的学习，让学生明确作一个函数图象的一般步骤，能做出一个函数的图象，同时感悟正比例函数图象是一条直线．

效果：学生通过学习，掌握了作一个函数图象的一般方法，能作出一个函数的图象，同时感悟到正比例函数图象是一条直线．

第三环节：动手操作，深化探索

内容：做一做

（1）作出正比例函数y=3x的图象．

（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否都满足关系y=3x．

请同学们以小组为单位，讨论下面的问题，把得出的结论写出来． （1）满足关系式y=3x的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数y=3x的图象上吗？

（2）正比例函数y=3x的图象上的点（x，y）都满足关系式y=3x吗？ （3）正比例函数y=kx的图象有什么特点？ 明晰

由上面的讨论我们知道：正比例函数的代数表达式与图象是一一对应的，即满足正比例函数的代数表达式的x，y所对应的点（x，y）都在正比例函数的图象上；正比例函数的图象上的点（x，y）都满足正比例函数的代数表达式．正比例函数y=kx的图象是一条直线，以后可以称正比例函数y=kx的图象为直线y=kx．

议一议

既然我们得出正比例函数y=kx的图象是一条直线．那么在画正比例函数图象时有没有什么简单的方法呢？

因为“两点确定一条直线 ”，所以画正比例函数y=kx的图象时可以只描出两个点就可以了．因为正比例函数的图象是一条过原点(0,0)的直线,所以只需再确定一个点就可以了,通常过(0,0),(1,k)作直线.

例2 在同一直角坐标系内作出y=x,y=3x,y=-解：列表

x 0 0 0 0 0 1 1 3 1x,y=-4x的图象． 2y=x y=3x y=-1x 2y=4x -1 2-4 过点（0，0）和（1，1）作直线，则这条直线就是y=x的图象． 过点（0，0）和（1，3）作直线，则这条直线就是y=3x的图象． 过点（0，0）和（1，-11）作直线，则这条直线就是y=-x的图象． 22过点（0，0）和（1，-4）作直线，则这条直线就是y=-4x的图象． 目的：做一做“作出这几个正比例函数的图象”，意在让学生进一步熟悉如何作一个正比例函数的图象，同时要求学生通过这几个函数的图象，分析正比例函数图象的性质,以及k的绝对值大小与直线倾斜程度的关系.

效果：学生通过作出正比例函数的图象，明确了作函数图象的一般方法．在探究函数与图象的对应关系中加深了理解，并能很快地作出正比例函数的图象．

议一议

上述四个函数中,随着x的增大,y的值分别如何变化?

在正比例函数y=kx中,

当k＞0时,图象在第一、三象限，y的值随着x值的增大而增大(即从左向右观察图象时,直线是向上倾斜的);当k＜0时, 图象在第二、四象限， y的值随着x值的增大而减小 (即从左向右观察图象时,直线是向下倾斜的).

请你进一步思考:

（1）正比例函数y=x和y=3x中，随着x值的增大y的值都增加了，其中哪一个增

加得更快？你能说明其中的道理吗？

（2）正比例函数y=-

1x和y=-4x中，随着x值的增大y的值都减小了，其中哪一2个减小得更快？你是如何判断的？

我们发现：k越大，直线越靠近y轴。

第四环节：巩固练习，深化理解

内容：

练习1：在同一直角坐标系中分别作出y=

11x与y=-x的图象．

32练习2：当x0时，y与x的函数解析式为y2x，当x0时，y与x的函数解析

式为y2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )

A B C D

OxOxOxOxyyyy练习3：对于函数y3x的两个确定的值x1、x2来说，当x1x2时，

对应的函数值y1与y2 的关系是( )

A. y1y2 B. y1y2 C. y1y2 D. 无法确定

目的：这里的三个练习题，一是让学生熟练正比例函数图象的作法，二是明确正比例函数图象的性质，要注意自变量的取值范围。

效果：学生通过练习，进一步熟练了正比例函数图象的作法，对正比例函数和正比例函数图象的一般特征有了清楚的认识．

第五环节：课时小结

内容：本节课我们通过对正比例函数图象的研究，掌握了以下内容： （1）函数与图象之间是一一对应的关系； （2）正比例函数的图象是一条经过原点的直线．

（3）作正比例函数图象时，只取原点外的另一个点，就能很快作出． 目的：让学生在回忆的过程中，进一步加深对正比例函数图象的理解，同时对本节所学知识有一个总结性的认识．

效果：学生通过对本节学习的回顾和小结，对所学知识更清楚，抓住了重点，明确了关键．

第六环节：拓展探究

内容：

如图所示，你认为下列结论中正确的是（ ）

A. k1k2k3 B. k2k1k3 C. k3k1k2 D. k1k3k2

目的：对学有余力的学生，能进一步提高，让他们的学习活动深入下去，同时为以后学习正比例函数图象的应用奠定基础．

效果：学生通过对上面问题的探究，对正比例函数图象的认识更深入．

第七环节：作业布置

习题4.3 1、2、3、4题，5题选做。

四、教学设计反思

这节内容是学生利用数形结合的思想去研究正比例函数的图象，对函数与图

象的对应关系有点陌生．在教学过程中教师应通过情境创设激发学生的学习兴趣，对函数与图象的对应关系应让学生动手去实践，去发现，对正比例函数的图象是一条直线应让学生自己得出．在得出结论之后，让学生能运用“两点确定一条直线”，很快作出正比例函数的图象．在巩固练习活动中，鼓励学生积极思考，提高学生解决实际问题的能力．

当然，根据学生状况，教学设计也应做出相应的调整。如第一环节：创设情境 引入课题，固然可以激发学生兴趣，但也可能容易让学生关注代数表达式的寻求，甚至对部分学生形成一定的认知障碍，因此该环节也可以直接开门见山，直入主题，如提出问题：正比例函数的代数形式是y=kx，那么，一个正比例函数对应

的图形具有什么特征呢？

4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：确定正比例函数的表达式

求正比例函数y＝(m－4)m－15的表达式．

解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

2

解：由正比例函数的定义知m－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式

【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式 已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

5＝b，k＝－5，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. －5＝2k＋b.b＝5.

2

方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数

的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A(4，3)3

是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝，即正比例函数的表

43522

达式为y＝x.∵OA＝3＋4＝5，且OA＝2OB，∴OB＝.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点

4255

的坐标为(0，－)．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－＝b，代入3＝4k2＋b

2211115

中，得k2＝.∴一次函数的表达式为y2＝x－.

882

方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐

标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式 某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价. 数量x/千克 1 2 3 4 5 … 售价y/元 8＋0.4 16＋0.8 24＋1.2 32＋1.6 40＋2.0 … 解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

正比例函数y＝kx（k≠0）

确定一次函数表达式

一次函数y＝kx＋b（k≠0）

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表

达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．

2．2 平方根 第1课时 算术平方根

1．了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点) 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根；(重点) 3．了解算术平方根的性质．(难点)

一、情境导入

上一节课我们做过：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边

2

长为a的大正方形，那么有a＝2，a＝________，2是有理数，而a是无理数．在前面我们

2

学过若x＝a，则a叫做x的平方，反过来x叫做a的什么呢？

二、合作探究

探究点一：算术平方根的概念

【类型一】 求一个数的算术平方根 求下列各数的算术平方根：

122

(1)64；(2)2；(3)0.36；(4)41－40.

4

解析：根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根，只要找到一个非负数的平方等于这个非负数即可．

2

解：(1)∵8＝64，∴64的算术平方根是8；

329113(2)∵()＝＝2，∴2的算术平方根是；

24442(3)∵0.6＝0.36，∴0.36的算术平方根是0.6；

(4)∵41－40＝81，又9＝81，∴81＝9，而3＝9，∴41－40的算术平方根是3.

方法总结：(1)求一个数的算术平方根时，首先要弄清是求哪个数的算术平方根，分清求81与81的算术平方根的不同意义，不要被表面现象迷惑．

(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算，因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．

【类型二】 利用算术平方根的定义求值 3＋a的算术平方根是5，求a的值．

解析：先根据算术平方根的定义，求出3＋a的值，再求a.

2

解：因为5＝25，所以25的算术平方根是5，即3＋a＝25，所以a＝22.

2

2

2

2

2

2

2

方法总结：已知一个数的算术平方根，可以根据平方运算来解题．

探究点二：算术平方根的性质

【类型一】 含算术平方根式子的运算 计算：49＋9＋16－225. 解析：首先根据算术平方根的定义进行开方运算，再进行加减运算． 解：49＋9＋16－225＝7＋5－15＝－3.

方法总结：解题时容易出现如9＋16＝9＋16的错误．

【类型二】 算术平方根的非负性 已知x，y为有理数，且x－1＋3(y－2)＝0，求x－y的值．

2

解析：算术平方根和完全平方式都具有非负性，即a≥0，a≥0，由几个非负数相加和为0，可得每一个非负数都为0，由此可求出x和y的值，进而求得答案．

解：由题意可得x－1＝0，y－2＝0，所以x＝1，y＝2.所以x－y＝1－2＝－1. 方法总结：算术平方根、绝对值和完全平方式都具有非负性，即a≥0，|a|≥0，a≥0，当几个非负数的和为0时，各数均为0.

三、板书设计

2

2

概念：非负数a的算术平方根记作

算术平方根a≥0，

性质：双重非负性a≥0

a

让学生正确、深刻地理解算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化．概念的形成

过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有帮助的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．

4．4 一次函数的应用 第1课时 确定一次函数的表达式

1．会确定正比例函数的表达式；(重点) 2．会确定一次函数的表达式．(重点)

一、情境导入

某农场租用播种机播种小麦，在甲播种机播种2天后，又调来乙播种机参与播种，直至完成800亩的播种任务，播种亩数与天数之间的函数关系如图．你能通过图象提供的信息求出y与x之间的关系式吗？你知道乙播种机参与播种的天数是多少呢？学习了本节的内容，你就知道了．

二、合作探究

探究点一：确定正比例函数的表达式

2

求正比例函数y＝(m－4)m－15的表达式．

解析：本题是利用正比例函数的定义来确定表达式的，即自变量的指数为1，系数不为0，这种类型简称为定义式．

2

解：由正比例函数的定义知m－15＝1且m－4≠0，∴m＝－4，∴y＝－8x.

方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为1，系数不为0. 探究点二：确定一次函数的表达式

【类型一】 根据给定的点确定一次函数的表达式 已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．

解析：先设一次函数的表达式为y＝kx＋b，因为它的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，所以当x＝0时，y＝5；当x＝2时，y＝－5.由此可以得到两个关于k、b的方程，通过解方程即可求出待定系数k和b的值，再代回原设即可．

解：设一次函数的表达式为y＝kx＋b，根据题意得，

5＝b，k＝－5，∴解得∴一次函数的表达式为y＝－5x＋5. －5＝2k＋b.b＝5.

方法总结：“两点式”是求一次函数表达式的基本题型．二次函数y＝kx＋b中有两个待定系数k、b，因而需要知道两个点的坐标才能确定函数的关系式．

【类型二】 根据图象确定一次函数的表达式

正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为A(4，3)，B为一次函数

的图象与y轴的交点，且OA＝2OB.求正比例函数与一次函数的表达式．

解析：根据A(4，3)可以求出正比例函数表达式，利用勾股定理可以求出OA的长，从而可以求出点B的坐标，根据A、B两点的坐标可以求出一次函数的表达式．

解：设正比例函数的表达式为y1＝k1x，一次函数的表达式为y2＝k2x＋b.∵点A(4，3)

3

是它们的交点，∴代入上述表达式中，得3＝4k1，3＝4k2＋b.∴k1＝，即正比例函数的表

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达式为y＝x.∵OA＝3＋4＝5，且OA＝2OB，∴OB＝.∵点B在y轴的负半轴上，∴B点

4255

的坐标为(0，－)．又∵点B在一次函数y2＝k2x＋b的图象上，∴－＝b，代入3＝4k2＋b

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中，得k2＝.∴一次函数的表达式为y2＝x－.

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方法总结：根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐

标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中求出待定系数，从而求出函数的表达式．

【类型三】 根据实际问题确定一次函数的表达式 某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量x与售价y的关系如下表所

示，请你根据表中所提供的信息，列出售价y(元)与数量x(千克)的函数关系式，并求出当数量是2.5千克时的售价.

数量x/千克 1 2 3 4 5 … 售价y/元 8＋0.4 16＋0.8 24＋1.2 32＋1.6 40＋2.0 … 解析：从图表中可以看出售价由8＋0.4依次向下扩大到2倍、3倍、……

解：由表中信息，得y＝(8＋0.4)x＝8.4x，即售价y与数量x的函数关系式为y＝8.4x.当x＝2.5时，y＝8.4×2.5＝21.所以数量是2.5千克时的售价是21元．

方法总结：解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．

三、板书设计

正比例函数y＝kx（k≠0）

确定一次函数表达式

一次函数y＝kx＋b（k≠0）

经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表

达式，进一步使用数形结合的思想方法；经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性，拓展学生的思维．