叠合度的计算及其对非线性Picard边值问题的应用

维普资讯 http://www.cqvip.com 第２５卷第３期　徐州师范大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．２５。Ｎ０．３　２００７年９月　Ｊ．ｏｆ　Ｘｕｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖ．（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｓｅｐ．，２００７　叠合度的计算及其对非线性　Ｐｉｃａｒｄ边值问题的应用　王　峰　，张　芳　，王　鑫　（１．江苏工业学院信息科学系，江苏常州　２１３１６４；　２．徐州师范大学数学科学学院，江苏徐州　２２１１１６）　摘要：利用锥理论给出了一个新的叠合度计算方法，并应用于非线性二阶Ｐｉｃａｒｄ问题．　关键词：叠合度；Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子；锥；边值问题　中图分类号：０１７５．１４；０１７７．９１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—６５７３（２００７）０３—００２３—０４　１准备知识及其引理　本文是作者工作［１］的继续．　首先我们介绍有关叠合度的概念及其引理．设Ｘ，Ｚ为实Ｂａｎａｃｈ空间，Ｌ：ｄｏｍ　ＬＣＸ－－￣Ｚ为线性映　射，Ｎ：Ｘ—Ｚ为连续映射（一般为非线性）．如果ｄｏｍＫｅｒ　Ｌ—ｃｏｄｉｍＩｍ　Ｌ＜＋ｏ。且Ｉｍ　Ｌ为Ｚ的闭子空　间，则称映射Ｌ为指标为零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射．如果Ｌ为指标是零的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ映射，则存在连续投影算　子Ｐ：Ｘ－－￣ｄｏｍ　Ｌ，Ｑ：Ｚ—Ｚ使得Ｉｍ　Ｐ—Ｋｅｒ　Ｌ，Ｉｍ　Ｌ—Ｋｅｒ　Ｑ—Ｉｍ（　一Ｑ），则Ｌ　Ｉ　ｄ。ｍ　ＬｎＫ盯Ｐ：ｄｏｍ　Ｌ　ｎ　Ｋｅｒ　Ｐ　—Ｉｍ　Ｌ可逆，令其逆映射为Ｋ　．设ｎ是Ｘ中的有界开集，如果ＱＮ：ｎ—Ｚ与Ｋ　（　一Ｑ）：ｎ—Ｘ是紧的，　则称Ｎ在ｎ上是Ｌ紧的．由于Ｉｍ　Ｑ与Ｋｅｒ　Ｌ同构，因而存在同构映射Ｊ：Ｉｍ　Ｑ—Ｋｅｒ　Ｌ．假设Ｌｚ≠Ｎｘ，　Ｖ　ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａｎ，定义算子Ｌ和Ｎ在ｎ中的叠合度为Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］一ｄｅｇｃｓ（　一Ａ，ｎ，　），其中Ａ—　Ｐ＋．，ＱＮ＋Ｋ　（　一Ｑ）Ｎ，ｄｅｇｃｓ表示Ｌｅａｆｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ度．有关叠合度的详细定义和性质请参见文献［２，　３］．文献［２］中考虑了将叠合度与Ｂａｎａｃｈ空间中锥理论相结合，给出了关于叠合度的计算方法．　定理Ａ【２］　设Ｋ　，Ｋ分别是空间Ｘ和Ｚ中的锥，且Ｎ（Ｘ）ｃＫ，Ｌ　（Ｋ）ｃＫ　．若Ｋｅｒ　Ｌ一｛０），０Ｅ　ｎ，算子Ｎ：ｎ—Ｚ是Ｌ紧的，并且Ｌｚ≠Ｎｘ，Ｖ　ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　ｎ　ａｎ．对于Ｖ　ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　ｎ　ａｎｎ　Ｋ　时，都有　Ｎｘ≤Ｌｘ，　（１）　则Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］一０．　定理ＢＬ。　设Ｋ　，Ｋ分别是空间Ｘ和Ｚ中的锥，且Ｎ（Ｘ）ＣＫ，Ｌ　（Ｋ）ＣＫ　．若Ｋｅｒ　Ｌ一｛０），０Ｅ　ｎ，算子Ｎ：ｎ—Ｚ是Ｌ紧的，并且Ｌｚ≠Ｎｘ，Ｖ：ｒＥ　ｄｏｍ　Ｌｎａｎ．对于Ｖ：ｒＥ　ｄｏｍ　ＬｎａｎｎＫ　时，都有　Ｎｘ　Ｌｘ，　（２）　则Ｉ　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］Ｉ一１．　定理ＣＬ２　设Ｋ　，Ｋ分别是空间Ｘ和Ｚ中的锥，且Ｎ（Ｘ）ｃＫ，Ｌ　（Ｋ）ｃＫ　．若ｎ　，ｎ。是Ｅ中的　有界开集，Ｋｅｒ　Ｌ一｛０），０Ｅｎ　ｃｎ　ｃｎ。，算子Ｎ：ｎ。一Ｚ是Ｌ紧的，满足条件　Ｃ１）Ｎｚ≥Ｌｘ，ＶｚＥｄｏｍ　Ｌｎａｎｌ　ｎＫｌ；Ｎｘ≤Ｌｘ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　Ｌｎａｎ２　ｎＫ１．或　Ｃ２）Ｎｚ≥Ｌｘ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　Ｌｎａｎ２　ｎＫ１；Ｎｚ≤Ｌｘ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　Ｌｎａｎ１　ｎＫ１，　则方程Ｌｘ＝Ｎｘ在ｄｏｍ　ＬＮ（ｎ。＼ｎ　）ＮＫ　中至少有一解．　在实际应用中，发现直接利用锥Ｋ　中的序关系，（１），（２）检验起来比较困难．本文考虑引进适当的　Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ及Ｅ中的锥，利用该锥导出的序关系检验要方便得多．　下面给出本文需要用到的两个引理：　引理１　设算子Ｎ：ｎ—Ｚ是Ｌ紧的，若存在　ＥＺ，ｙ＝／＝Ｏ，使得　收稿日期：２００７—０１—２０　基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０６７１１６７）　作者简介：王峰（１９７９一），男，江苏泰兴人，助教，硕士，主要从事非线性泛函分析研究　维普资讯 http://www.cqvip.com ２４　徐州师范大学学报（自然科学版）　第２５卷　Ｌ：ｒ—Ｎｘ≠　，Ｖ　≥０，ｚ　Ｅ　ｄｏｒａ　Ｌ　ｎ　ａｎ，　则Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］一０．　引理２　设Ｋｅｒ　Ｌ一｛０｝，０ＥＯ，算子Ｎ：　一Ｚ是Ｌ紧的，如果　≠　Ｎｚ，Ｖ　０≤　≤１，　ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａｎ，　则Ｉ　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］Ｉ一１．　２　主要结论　本文恒设Ｋ　，Ｋ分别是空间Ｘ和Ｚ中的锥，且Ｎ（Ｘ）ｃＫ，Ｌ　（Ｋ）ｃＫ。．　定理１　若算子Ｎ：ｎ—Ｚ是Ｌ紧的，并且Ｌｚ≠Ｎｘ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａｎ．设存在另一个Ｂａｎａｃｈ空间　Ｅ，Ｅ中的锥Ｋ　，以及有界线性算子Ｂ：Ｋ—Ｋ　，使得　ＢＮｘ　ＢＬｘ，　Ｖ　ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　ｎ　ａｎ　ｎ　Ｋ１，　（３）　其中的半序由锥Ｋ　在Ｅ中导出，则Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］一０．　证　首先证明，任取ｈＥＬ　（Ｋ），ｈ≠０，　≥０，有　Ｌｃｒ—Ｎｘ≠　，　Ｖ　ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａｎ．　（４）　事实上，如果存在ｚ。Ｅ　ｄｏｍ　ＬＮａｎ，　。≥０，使Ｌｚ。一Ｎｘ。一　。Ｌｈ．由于Ｌｚ≠Ｎｘ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａｎ，　故　ｏ＞０．用Ｂ对等式Ｌｚ　ｏ—Ｎｘｏ—　ｏＬｈ两边作用得，ＢＬｘｏ—ＢＮｘｏ—　ｏＢＬｈ，即ＢＮｘｏ—ＢＬｘｏ－－２ｔｏＢＬｈ　≤ＢＬｘ０．由Ｎ（Ｘ）ｃＫ，Ｌ　（Ｋ）ｃＫｌ知，Ｌｚ。一Ｎｘ。＋　。Ｌ　∈Ｋ，从而有ｚ。Ｅ　ｄｏｍ　ＬＮａｎＮＫ１．由条件　（３）推出矛盾．故对任给ｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａｎ，　≥０，（４）式成立．根据引理１即知，Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］一０．　定理２　设Ｋｅｒ　Ｌ一｛０｝，０Ｅｎ，算子Ｎ：ｎ—Ｚ是Ｌ紧的，并且Ｌｚ≠Ｎｘ，Ｖ　ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａｎ．若存在　另一个Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ　，Ｅ　中的锥Ｋ　，以及存在有界线性算子Ｂ　：Ｋ—Ｋ　，使得　Ｂ　Ｎｘ≥Ｂ　Ｌｚ，　Ｖ　ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　ｎ　ａｎ　ｎ　Ｋ２，　（５）　其中的半序由锥Ｋ　在Ｅ　中导出，则Ｉ　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］Ｉ一１．　证　首先证明，对于任给ｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａｎ，０≤　≤１，有　≠　Ｎｚ．　（６）　事实上，如果存在ｚ。Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａｎ，０≤　≤１，使Ｌｚ　一　Ｎｘ　．由于Ｌｚ≠Ｎｘ，Ｖ　ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａｎ，故　０≤　ｌ＜１．用Ｂ　对等式Ｌｚ１一　ｌ　Ｎｘ１两边作用，有Ｂ　Ｌｚｌ—　ｌ　Ｂ　Ｎｘｌ≤Ｂ　Ｎｘ１．由Ｎ（Ｘ）ＣＫ，Ｌ　（Ｋ）ｃ　Ｋ　知，Ｌｚ。一　。Ｎｘ　ＥＫ，从而有ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　ＬＮａｎＮＫ　．由条件（５）推出矛盾．故对任给ｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａｎ，　０≤　≤１，（６）式成立．根据引理２即知，ＩＤ［（Ｌ，Ｎ），ｎ］Ｉ一１．　定理３　设ｎ　，ｎ　是Ｅ中的有界开集，Ｋｅｒ　Ｌ一｛０｝，０Ｅｎ。ｃｎ　ｃｎ　，算子Ｎ：ｎｚ—Ｚ是Ｌ紧的．若　存在另两个Ｂａｎａｃｈ空间Ｅ，Ｅ　，其中Ｋ　，Ｋ　分别为Ｅ，Ｅ　中的锥，以及存在有界线性算子Ｂ：Ｋ—Ｋｚ，Ｂ　：　Ｋ—Ｋ　，满足条件　Ｈ１）ＢＮｚ≥ＢＬｘ，Ｖ　ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａ．ｆ２ｌ　ｎ　Ｋ２；Ｂ　Ｎｘ≤Ｂ　Ｌｚ，Ｖ　ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａ．ｆ２２　Ｎ　Ｋ　．或　Ｈ２）ＢＮｚ≥ＢＬｘ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａ．ｆ２２　ｎＫ２；Ｂ　Ｎｘ≤Ｂ　Ｌｚ，ＶｚＥ　ｄｏｍ　ＬＮａ．ｆ２ｌ　ｎＫ　，　则方程Ｌｘ＝Ｎｘ在ｄｏｍ　ＬＮ（ｎ　＼ｎ　）ＮＫ。中至少有一解．　证我们仅在条件Ｈ。）下证明结论成立，在条件Ｈ　）之下可以类似地证明．根据定理１、定理２，有　Ｉ　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ　］Ｉ一１，　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ　］一０．　由叠合度的可加性，得到　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎ　＼　。］一ＤＥ（Ｌ，Ｎ），ｎ　］一Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｎｔ］一±１≠０．　由可解性，存在ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ（　＼ｎ　），使Ｌｚ　一Ｎｘ　，注意到Ｎｘ　Ｅ　Ｋ，Ｌｚ　∈Ｋ，于是ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　（　＼ｎ。）ＮＫ　．　注１　当Ｘ＝Ｚ，Ｌ—Ｉ（恒等算子）时，取Ｐ—Ｑ一口（零算子即０ｘ一０，Ｖ　ｚ　Ｅ　ｄｏｒａ　Ｌ　Ｉ＂１　ｎ），则ＫｅｒＰ　ｎ　ｄｏｍ　Ｌ—Ｘ，易知Ｎ是Ｌ紧的充要条件为．Ｎ是全连续的，此时定理１，２是Ｌｅａｒｙ—Ｓｃｈａｕｄｅｒ度相关计算　方法的拓广，定理３是著名的锥拉伸与锥压缩不动点定理在叠合度方面的推广，而当空间Ｅ（Ｅ）一Ｚ，算　子Ｂ（Ｂ　）为恒等算子　时，定理Ａ（Ｂ，Ｃ）即为定理１（２，３）的特殊情形．　维普资讯 http://www.cqvip.com

第３期　王峰，等：叠合度的计算及其对非线性Ｐｉｃａｒｄ边值问题的应用　２５　３　应用　考虑非线性Ｐｉｃａｒｄ边值问题　（￡）＋ｆ（ｔ，ｚ（￡），ｚ　（￡））一０，　￡∈Ｔ，　（７）　Ｉｚ（０）一ｚ（７ｃ）一０，　这里Ｔ一［０，７ｃ］，ｆ：Ｔ×Ｒ×Ｒ—Ｒ非负连续．　令Ｘ一｛ｚ∈Ｃ　［０，７ｃ］ｌ　ｚ（０）一ｚ（７ｃ）一０｝，Ｚ—ＣＥＴ，Ｒ３，ｄｏｍ　Ｌ—Ｃ　ＩＴ，Ｒ］ｎ　Ｘ．定义算子Ｌ：ｄｏｍ　Ｌ—　Ｚ　ｓ　Ｎ：ｘ—Ｚ为　（Ｌｘ）（￡）一一　（￡），　（Ｎｘ）（￡）一ｆ（ｔ，ｚ（￡），ｚ　（￡）），　则Ｋｅｒ　Ｌ一｛０｝，Ｉｍ　Ｌ—Ｚ，故Ｌ是零指标的Ｆｒｅｄｈｏｌｍ算子，并且Ｌ一：Ｚ—Ｘ的表达式为　（Ｌ－ｌ　ｙ）（　）＝＝———　一（Ｊ＇　ｓ（ｒｃ－ｔ）　（ｓ）ｄｓ—卜Ｊ＇　（兀——ｓ）　（ｓ）ｄｓ）．　由Ａｒｚｅｌａ—Ａｓｃｏｌｉ定理易知Ｌ一：Ｚ—Ｘ是线性全连续算子．由于Ｎ：Ｘ—Ｚ是连续有界算子，因此Ｎ是Ｌ　紧的．在Ｘ和Ｚ中分别取锥为　Ｋ　一｛ｚ（￡）ｌ　ｚ　Ｅ　Ｘ，ｚ（￡）≥０，ｚ（￡）为Ｔ上的凹函数｝，　Ｋ一｛ｚ（￡）ｌ　ｚ　Ｅ　Ｚ，ｚ（￡）≥０｝．　据上述讨论，问题（７）的解等价于方程Ｌｚ（￡）一Ｎｘ（￡）在ｄｏｍ　ＬＮＫ　的解．由厂（ｔ，ｚ，　）非负，Ｎ（Ｘ）ｃ　Ｋ，并且Ｌ　（Ｋ）ＣＫ　．用ｌｌ・　表示空间Ｌ　Ｐ［Ｔ，Ｒ］的范数．　定理４假设关于ｔＥ　Ｔ，一致地有　ｌｉ　ｍ　＜　１，　（８）　Ｉ　＋１　Ｉ一＋ｏｏ　ｌ　ｚ　ｌ十ｌ　ｌ　ｌｉｒａｉｎｆ＞１，　（９）　Ｉ　Ｉ＋　＋Ｉ—ｏｙｌ　　ｌ　ｚ　ｌ十ｌ　ｌ　则问题（７）至少有一解ｚ　（￡），且有ｚ　（￡）＞０，ｔＥ（０，７ｃ）．　证　注意到问题（８），（９）等价于抽象算子方程Ｌｚ　Ｎｘ．由（９）式，存在ｒ＞０，使当ｌ　ｚＩ＋ｌ　Ｉ≤ｒ时，　ｆ（ｔ，ｚ，　）≥ｌ　ｚ　ｌ＋ｌ　ｌ≥ｌ　ｚ　１．取Ｔ，为Ｘ中半径为ｒ，中心在０点的开球，则当ｚＥ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ａＴ，Ｎ　Ｋ　时，　有ｌ　ｚ（￡）ｌ＋ｌ　ｚ　（￡）ｌ≤Ｉ　ｚｌ　一ｒ，从而　ｆ（ｔ，ｚ，ｚ　（￡））≥ｚ（￡），ｔ　Ｅ　Ｔ．　上式两边同乘ｓｉｎ　ｔ，并且在Ｔ上积分，利用分部积分公式，得到　Ｉ　ｓｉｎ￡厂（￡，ｚ，ｚ　（￡））ｄ￡≥Ｉ　ｓｉｎ￡ｚ（ｔ）ｄｔ—Ｉ　ｓｉｎ　ｔ（－　（￡））ｄｔ，　即Ｉ　ｓｉｎ　ｔ　Ｎｘ（ｔ）ｄｔ≥Ｉ　ｓｉｎ　ｔ　Ｌｘ（ｔ）ｄｔ．不妨假设当ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ＯＴ，Ｎ　Ｋ　时，Ｌｘ≠Ｎｘ．故　Ｉ　ｓｉｎ　ｔ　Ｎｘ（￡）ｄｔ＞Ｉ　ｓｉｎ　ｔ　Ｌｘ（￡）ｄｔ．　（１０）　设Ｂｘ（￡）一Ｉ　ｓｉｎ　ｔｘ（￡）ｄｔ，则Ｂ是映Ｋ　入Ｋ　一［０，＋ｏｏ）的有界正线性算子．下面证明对于Ｖ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ＯＴ，Ｎ　Ｋ　，有ＢＮｘ　ＢＬｘ成立．事实上，若存在ｚ　Ｅ　ｄｏｍ　Ｌ　Ｎ　ＯＴ，Ｎ　Ｋ　，满足ＢＮｘ　≤　ＢＬｘ　．这与（１０）式矛盾、根据定理１，有　Ｄ［（Ｌ，Ｎ），ｄｏｒａ　Ｌ　Ｎ　Ｔ，Ｎ　Ｋ１］一０．　由常规证法知结论成立　］．　本课题由导师孙经先教授于２００６年５月向第一作者建议，作者谨致谢意！　参考文献：　［１］王峰，邹玉梅．拓扑度的计算及其对超线性奇异四阶微分方程的应用Ｉ－Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２００６，２４　（４）：３１．　维普资讯 http://www.cqvip.com ２６　徐州师范大学学报（自然科学版）　第２５卷　Ｅ２］郭大钧，孙经先，刘兆理．非线性常微分方程泛函方法［Ｍ］．济南：山东科技出版社，１９９４：１０５—１０７，１６７—１６８．　［３］Ｇａｉｎｅｓ　Ｒ　Ｅ，Ｍａｗｈｉｎ　Ｊ１　．Ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ａｎｄ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．Ｂｅｒｌｉｎ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９７７　［４３张福保．叠合度的缺方向性与边值共振问题的非平凡解［Ｊ］．数学研究与评论，１９９９，１９（４）：６９３．　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　Ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　Ｄｅｇｒｅｅ　ａｎｄ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔＯ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｐｉｃａｒｄ　Ｂｏｕｎ　ｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　Ｓｅｃｏｎｄ—ｏｒｄｅｒ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ＷＡＮＧ　Ｆｅｎｇ　，ＺＨＡＮＧＦａｎｇ　，ＷＡＮＧ　Ｘｉｎ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｊｉａｎｇｓｕ　Ｐｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｓｕ，２１３１６４，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｓｕ，２２１１１６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｎｅｗ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　ｄｅｇｒｅｅ　ｉｓ　ｇｉｖｅｎ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｃｏｎｅｓ　ａｎｄ　ａｐｐｌｉｅｄ　ｔｏ　ｉｎｖｅｓｔｉｇａｔｉｏｎ　ｏｎ　ｔｈｅ　ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｐｉｃａｒｄ　ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｏｆ　ｓｅｃｏｎｄ　ｏｒｄｅｒ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　ｅｑｕａｔｉｏｍｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｃｏｉｎｃｉｄｅｎｃｅ　ｄｅｇｒｅｅ；Ｆｒｅｄｈｏｌｍ　ｏｐｅｒａｔｏｒ；ｃｏｎｅ；ｂｏｕｎｄａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ　（上接第２２页）　参考文献：　［１］　ｚｅ　Ｅ，Ｇｏｎｚｆｉｌｅｚ—Ｏｌｉｖａｒｅｓ　Ｅ．Ｄｙｎａｍｉｃｓ　ｏｆ　ａ　ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，１９９９，５９：１８６７．　［２］Ｐｅｎｇ　Ｒｕｉ，Ｗａｎｇ　Ｍｉｎｇｘｉｎ．Ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ　ｏｆ　ａ　ｄｉｆｆｕｓｉｖｅ　Ｈｏｌｌｉｎｇ—Ｔａｎｎｅｒ　ｐｒｅｙ—ｐｒｅｄａｔｏｒ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ　Ｌｅｔｔｅｒｓ，２００７，２０（６）：６６４．　［３３刘勇，林支桂．具有扩敞的二种群捕食一被捕食模型中的共存解［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学版，２００５，２３（１）：　１６．　［４３吴强，高静．一类具有Ｍｉｃｈａｅｌｉｓ—Ｍｅｎｔｅｎ响应函数的三种群捕食模型的定性分析［Ｊ］．徐州师范大学学报：自然科学　版，２００６，２４（４）：２７．　［５］Ｗａｎｇ　Ｍｉｎｇｘｉｎ．Ｎｏｎ—ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｔｅａｄｙ　ｓｔａｔｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　Ｓｅｌ’ｋｏｖ　ｍｏｄｅｌ［Ｊ］．Ｊ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，２００３，１９０（２）：　６００．　［６３　Ｈｓｕ　Ｓ　Ｂ，Ｈｕａｎｇ　Ｔ　Ｗ．Ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｆｏｒ　ａ　ｃｌａｓｓ　ｏｆ　ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ　ｓｙｓｔｅｍｓ［Ｊ］．ＳＩＡＭ　Ｊ　Ａｐｐｌ　Ｍａｔｈ，１９９５，３５：７６３．　Ｌａｒｇｅ　Ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ　Ａｎａｌｙｓｉｓ　ｆｏｒ　ａ　Ｒａｔｉｏ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｈｏｌｌｉｎｇ—Ｔａｎｎｅｒ　Ｐｒｅｄａｔｏｒ－Ｐｒｅｙ　Ｍｏｄｅｌ　ＪＩＡＮＧ　Ｌｅ　．ＷＵ　Ｑｉａｎｇ　．ＬＵＸｉａｏ—ｇｕａｎｇ　（１．Ｈｕａｉｈａｉ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ，Ｊｉａｎｇｓｕ，２２２００５，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｘｕｚｈｏｕ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｕｚｈｏｕ，Ｊｉａｎｇｓｕ，２２１１１６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ａ　ｒａｔｉｏ—ｄｅｐｅｎｄｅｎｔ　Ｈｏｌｌｉｎｇ—Ｔａｎｎｅｒ　ｐｒｅｄａｔｏｒ—ｐｒｅｙ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｄｉｓ—　ｓｉｐａｔｉｏｎ，ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ　ａｎｄ　ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｃｏｎｓｔａｎｔ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｏｕｔ．Ｔｈｅ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅ　ｅ—Ｙｏｕｎｇ　ａｎｄ　Ｐｏｉｎｃａｒ６　ｉｎｅｑｕａｌｉｔｉｅｓ．ａｎｄ　ｔｈｅ　ｎｏｎ—ｅｘｉｓｔｅｎｃｅ　ｏｆ　ｎｏｎ—ｃｏｎ—　ｓｔａｎｔ　ｐｏｓｉｔｉｖｅ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ　ｉｓ　ｄｅｄｕｃｅｄ　ｗｈｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｆｆｕｓｉｏｎ　ｐａｒａｍｅｔｅｒｓ　ａｒｅ　ｌａｒｇｅ　ｅｎｏｕｇｈ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｕｎｃｔｉｏｎａｌ　ｒｅｓｐｏｎｓｅ；ｄｉｓｓｉｐａｔｉｏｎ；ｐｅｒｓｉｓｔｅｎｃｅ；ｇｌｏｂａｌ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ