投资组合的相关计算和证明(1)

1 组合的收益率和风险的度量

1.1 凸组合

T某投资组合由N个资产组成，投资比例向量为X(x1,x2,xN)，如果满

NT足XXxi1，称此投资组合为凸组合（或者称为自融资组合）。

i1

1.2风险资产的凸组合的期望收益率和方差

现有N个风险资产，以每个资产的期望收益率构成一个列向量，记为

TR(r1,r2,rN)。任意两个资产之间的协方差构成方差-协方差矩阵，记为

121N。此N个风险资产的凸组合的期望收益率和方差分别为：

2N1N2RPXTR PXTX

1.3 寻找方差-协方差矩阵

已知N个资产的M期历史收益率，构成如下收益率矩阵R：

r11r1N RrM1rMN将每个资产的每期收益率减去此资产的期望收益率得到收益率的离差矩阵D：

r11r1r1NrN DrM1r1rMNrN那么这N个风险资产的方差-协方差矩阵为：

1

r11r1rM1r1r11r1r1NrN1T1 DDMMrM1r1rMNrNrM1r1rMNrN见证明2.1（注：点击此超链接直接跳到证明部分，按Alt+←返回此位置，再按Alt+→跳回证明，下同）

1.4 两组合的协方差

TT

XX如果风险资产以投资比例1构成凸组合P1，以2构成凸组合P2，那么P1和TP2收益率的协方差为cov(rP1,rP2)X1X2。见证明2.2

1.5 求解风险资产组合可行集的最小方差边界

1.5.1 期望收益率-标准差坐标系内的任意两个风险资产（组合）的所有凸组合生成一条唯一的双曲线（两资产收益率没有完全相关性）。见附图3.1和证明2.3

1.5.2 三个及以上的风险资产的所有凸组合生成期望收益率-标准差坐标系内的一个平面，这个平面的最小方差边界是一条双曲线。最小方差边界正斜率的部分称为风险资产组合的有效边界。见附图3.2

1.5.3 两基金分离定理：最小方差边界上任意两个组合的凸组合一定还位于最小方差边界上。因此，只要已知边界上的任意两个组合就可以通过它们的凸组合生成整个边界。见证明2.4

1.5.4 最小方差边界可以用如下方法求出（见附图3.3）：

a. 任取纵轴上一点(0,c)，从此点向可行集做正斜率的切线，切点组合一定是有效边界上的组合。为了求出这个切点组合先构造列向量：

TZ(z1,z2,zN)

2

满足： Z(Rc)，那么切点组合上个单个证券的投资比例为：

TzzzX(N1,N2,,NN)

zizizii1i1i1见证明2.5

b. 适当改变c的值，找到有效边界上的第二个点。

c. 构造以上两个已知组合的凸组合，生成整个最小方差边界（两基金分离定理）。

3

2 相关证明

2.1 求解方差-协方差矩阵

r11r1rM1r1r11r1r1NrN1T1 DDMMrM1r1rMNrNrM1r1rMNrN记A1TDD，由于D为M×N矩阵，那么A为一个N×N矩阵。记A中M的任一元素为aij，其中i,j1,2,N。那么aij等于DT的第i行和D的第j列的乘积之和再除以M。即

r1jrjr2jrj11aij(r1iri,r2iri,,rMiri)MMrrjMj(rk1Mkiri)(rkjrj)

明显，aij就是资产i和资产j的协方差，即A方差-协方差矩阵。

Tcov(r,r)XX2.2 P1P212

1TDD就是这N个资产的MT11设N个风险资产以X1(x1,x11，以2,xN)的比例构成凸组合PT22X2(x12,x2,xN)构成凸组合P2。这N个资产的收益率向量记为

RT(r1,r2,rN)，期望收益率列向量记为E(r1,r2,,rN)T，那么P1和P2的收

益率向量分别为：

TTRP1X1R RP2X2R

因此P1和P2的协方差为：

cov(rP1,rP2)E(RP1RP2)E(RP1)E(RP2) TTTTE(X1RRX2)X1EX2E TTTTE(X1RRX2)X1EEX2 TTTX1[E(RR)EE]X2

4

其中，

E(r12)E(r1rN)E(RRT)E[(r1,r2,rN)T(r1,r2,rN)]

2E(rNr1)E(r)`Nr12r1rNEET(r1,r2,,rN)T(r1,r2,,rN)

2rNr1rN因此

E(r12)E(r1rN)r12r1rNE(RRT)EET－＝

22E(rNr1)rNr1E(r)`rNNTTTTcov(rP1,rP2)X1[E(RR)EE]X2X1X2

2.3期望收益率-标准差坐标系内的任意两个风险资产（组合）的所有凸组合生成一条唯一的双曲线（两资产收益率没有完全相关性）

有兴趣的同学参考宋逢明（《金融工程原理——无套利均衡分析》，1999，清华大学出版社，p48-49）。

2.4两基金分离定理

此定理的严格数学定理不在此处给出。我们只需要应用它的结论。 从2.3得知，任意两风险资产的凸组合生成一条双曲线。假设最小方差边界上的两个风险组合的凸组合生成的双曲线与最小方差边界不重合，那么就会如下图所示的情况：

最小方差边界 A B 5

显然，如果如图示两条双曲线不重合，最小方差边界上的组合在可行集组合中部分方差不再是“最小”的，因此假设的这个情况不存在，两条双曲线必然重合。

严格的数学证明参考宋逢明（1999，《金融工程原理——无套利均衡分析》，清华大学出版社，p48-49）

2.5 求解最小方差边界的切点组合

从纵轴上的任一点C(0,c)向最小方差边界的正斜率切线是所有C点和可行集组合连线中斜率最大的（参考附图3.3）。

记可行集组合坐标为(P,RP)，它和点C连线的斜率为

RPcP

因此切点组合通过求解如下非线性规划可得到：

max:XRPcP

s.t

xi1Ni1

其中 TX(x1,x2,xN)

记c1c，代入约束条件至目标函数：

max:XRPcPxrxciiii12ii1NNxi1N2ixixjiji1jijNN

目标函数取极值的一阶条件构成如下方程组为：

6

x010x2

x0N如果能解出x1,x2,,xN，我们就找到了切点组合。 现在考虑其中第k个方程

0，k1,2,N xk记

NF1(X)RPcxi(ric)

i1F2(X)1P(xxixjij)2i2ii1i1jijNNN12

目标函数可写为：

F1(X)F2(X)

那么

F1(X)rkc xkNNNNF2(X)132222()(xiixixjij)(2kxk2xiki) xk2i1i1ji1ijik(1P)(xkxiki)

32ki1ikN一阶条件可写为：

7

F(X)F1(X)F1(X)2F2(X) xkxkxk(RPc)(1P)(xkxiki)(rkc)32ki1ikN1P0

两边同时乘以P，化简得

RPc2P(xkxiki)(rkc)0

2ki1ikN记

则

RPc2P

rkcxkxiki

2ki1ikN因此从一阶条件方程组我们得到如下方程组：

r1cx112x212xN1N2r2cx121x22xN2N rcxxx21N12N2NNN写成矩阵形式：

121Nx1r1c

2N1NxNrNc记zixi，i1,2,,N，解上面这个方程组：

8

1Nz1r1c 2N1NzNrNc211解出zi后，xi可以由下式解出：

xziiNz

ii1

9

3 附图

期望收益率16%14%12%10%8%6%4%2%0%0%1%2%3%4%5%6%7%标准差EdisonMotors两风险资产组合可行集

附图 3.1

三风险资产可行集及边界期望收益率6%GM5%4%3%IBMCoca Cola2%1%0%5%6%7%8%9%10%11%12%标准差

附图 3.2

通过切线寻找有效边界上的组合期望收益率1.68%1.47%1.26%1.05%0.84%0.63%0.42%0.21%0.00%0.00%标准差0.45%0.05%0.10%0.15%0.20%0.25%0.30%0.35%0.40%

附图 3.3

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