不同元素的分组解法 (B)

发表时间：2015-07-23T16:38:07.857Z 来源：《教育学文摘》2015年7月总第162期供稿 作者： 金 麟[导读] 在高中数学排列与组合这一章中，相同元素与不同元素的分配问题是两种典型的组合应用题。金 麟 湖南沙市一中 410000

只要思考，就有体会。不管是对是错，我是在前进。

在高中数学排列与组合这一章中，相同元素与不同元素的分配问题是两种典型的组合应用题。这里，我以实例浅谈解法，希望得到大家帮助。

如下例问题——

问题一：按以下要求分配六本不同的书各有哪几种方法？ （1）平均分给甲乙丙三人，每人两本。 （2）平均分成三份，每份两本。

分析：本题实际上是道平均分组问题，看（1）平均分给甲乙丙三人每人两本，可以从两方面考虑。一方面：由组合的概念可知，方法数为(C26·C24·C22),另一方面:可以分两步操作，第一步将六本不同的书分成三份，每份两本，有方法数x，第二步，将三份按要求分配给甲乙丙三人，方法数为（C26·C24·C22），由乘法原理可知，其方法数х·3！= C26·C24·C22。 因此，平均分成三份数应为（C26·C24·C22/A33）。

从而可得,平均分给甲乙丙三人每人两本的方法数为（C26·C24·C22）。 由此推出结论：

（1）均匀编号的分组（即平均分堆到指定的位置），若将n个不同元素平均分成不同的m组，其中令每组元素个数为a，则分法数为n=Cana·Cana·Can-2a……Caa。

（2）均分无编号分组（即平均分堆），若将n个不同元素平均分成m份，其中令每份元素个数为a，则分法数为n= Can·Cana·Can-2a……Caa/Amm。

问题二：12个人按照下例要求分配，求不同的分法数。 （1）分为三组，一组5人，一组4人，一组3人。

（2）分为甲乙丙三组，一组5人，一组4人，一组3人。

分析：此二题为非平均分组问题。（1）中没有组名，所以分法数为C512·C47·C33·Amm。 （2）中组出三组名，但没有指明那一组具体到几人，所以分法为C512·C47·C33·Amm。

（3）非均分编号分组，若将n个不同元素分成不同的m组，其中每组元素个数不同，令为a1,a2,a3……分法数为n= Ca1n·Ca2n-a1·Ca3n-a1-a2……Cam/am。

引申（1）将12个人分成三组，其中一组2人，另外两组都是5人，求所有不同的分法数。 (2)将12人分成甲乙丙三组，一组6人，另两组均为3人。

分析：（1）这里有非平均分配（一组两人），又有平均分配（两组都是5人），因此可分两步完成，共有（C2/12·C5/10-/C5/5A2/2）种不同的分法。

（2）中有编号且有非平均分配（一组6人）又有平均分配（两组均是3）。 因此，可分两步完成共有（C6/12·C3/6·C3/3 A2/2 ·A3/3）。 总之，对于不同元素的分组问题可有如下结论：

将n个不同元素分成不同的m组，其中有r组元素相同，则不同的分法数为 N=Ca1/n·Ca2/n-a1·Ca3/n-a1-a2……Cam/am·Am/m。

将n不同元素分成m份，其中有r份元素相同，则不同的分法数为 N=Ca1/n·Ca2/na1·Ca3n-a1-a2……Cam/am。