云南省剑川县马登镇初级中学2016届中考数学模拟试题(三)

云南省剑川县马登镇初级中学2016届中考数学模拟试题三

一、选择题

1．的倒数是（ ） A．2 B．﹣2 C．

2．sin30°=（ ）

D．﹣

A．0 B．1 C． D．

2

3．已知二次函数y=ax+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：

①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

4． 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）

A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π

2

5．根据下列表格的对应值，判断方程ax+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.23.25 6 2ax+bx+c ﹣﹣0.00.00.06 0.02 3 9 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26

6．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）

A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥

7．下列说法中，正确的有（ ） （1）

的平方根是±5；

1

（2）五边形的内角和是0°．

2

（3）抛物线y=x+2x+4与x轴无交点．

（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

8．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（ ）

A． B．

C． D．

二、填空题

9．计算：0×（﹣2）﹣7= ．

22

10．已知x﹣2x﹣3=0，则2x﹣4x的值为 ．

2

11．因式分解：x﹣1= ．

12．已知∠α与∠β互补，若∠α=43°26′，则∠β= ．

13．九年级学生在进行跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得他们的

平均成绩都是5.68米，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 度．

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是 ．

16．用黑白两种颜色的正方形纸片拼成如下一列图案：按这种规律排列第10个图案中有白

2

色纸片

张．

三、17．计算：﹣2+

2

+（3+π）﹣|﹣3|．

0

18．先化简，再求值：，其中a=．

19．如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

20．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：

请根据所给信息解答以下问题： （1）请补全条形统计图；

（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？

（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、

3

B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．

21．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．

（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？

2

22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由．

23．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；

（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．

24．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP． （1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠PAC=60°，直径AC=4

，求图中阴影部分的面积．

4

25．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；

①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为2

，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

26．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为 顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标； （3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5

6

参 一、选择题

1．的倒数是（ ）

A．2 B．﹣2 C． D．﹣ 【考点】倒数．

【分析】根据乘积为的1两个数倒数，可得一个数的倒数．

【解答】解：的倒数是2， 故选：A．

【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．

2．sin30°=（ ）

A．0 B．1 C． D． 【考点】特殊角的三角函数值．

【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可．

【解答】解：sin30°=． 故选C． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．

2

3．已知二次函数y=ax+bx+c（其中a＞0，b＞0，c＜0），关于这个二次函数的图象有如下说法：

①图象的开口一定向上；

②图象的顶点一定在第四象限；

③图象与x轴的交点有一个在y轴的右侧． 以上说法正确的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】二次函数图象与系数的关系． 【专题】压轴题． 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】解：∵a＞0，故①正确；

∵顶点横坐标﹣＜0，故顶点不在第四象限，②错误， ∵a＞0，

∴抛物线开口向上， ∵c＜0，

∴抛物线与y轴负半轴相交，

故与x轴交点，必然一个在正半轴，一个在负半轴，故③正确．

7

故选C．

2

【点评】本题考查二次函数的草图的确定与二次函数y=ax+bx+c系数符号的确定．

4． 已知一个圆柱的侧面展开图为如图所示的矩形，则其底面圆的面积为（ ）

A．π B．4π C．π或4π D．2π或4π 【考点】几何体的展开图．

【分析】分底面周长为4π和2π两种情况讨论，先求得底面半径，再根据圆的面积公式即可求解．

2

【解答】解：①底面周长为4π时，半径为4π÷π÷2=2，底面圆的面积为π×2=4π；

2

②底面周长为2π时，半径为2π÷π÷2=1，底面圆的面积为π×1=π． 故选C． 【点评】考查了圆柱的侧面展开图，注意分长为底面周长和宽为底面周长两种情况讨论求解．

2

5．根据下列表格的对应值，判断方程ax+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（ ） x 3.23 3.24 3.23.25 6 2ax+bx+c ﹣﹣0.00.00.06 0.02 3 9 A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26 【考点】图象法求一元二次方程的近似根．

22

【分析】根据函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax+bx+c=0的根，再根据函数

2

的增减性即可判断方程ax+bx+c=0一个解的范围．

22

【解答】解：函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点就是方程ax+bx+c=0的根，

2

函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点的纵坐标为0； 由表中数据可知：y=0在y=﹣0.02与y=0.03之间，

∴对应的x的值在3.24与3.25之间，即3.24＜x＜3.25． 故选：C．

22

【点评】掌握函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点与方程ax+bx+c=0的根的关系是解决此题的关键所在．

6．一个几何体的三视图如图所示，这个几何体是（ ）

A．球 B．圆柱 C．长方体 D．圆锥 【考点】由三视图判断几何体． 【专题】几何图形问题．

【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，

8

根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱． 故选B． 【点评】本题考查了由三视图判断几何体，主视图和左视图的大致轮廓为长方形的几何体为柱体，俯视图为圆形就是圆柱．

7．下列说法中，正确的有（ ） （1）

的平方根是±5；

（2）五边形的内角和是0°．

2

（3）抛物线y=x+2x+4与x轴无交点．

（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【考点】抛物线与x轴的交点；平方根；三角形三边关系；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．

【分析】根据抛物线与x轴交点、平方根、三角形三边关系以及等腰三角形的性质等知识判断各个选项即可． 【解答】解：（1）

的平方根是±

，错误；

（2）五边形的内角和是0°，正确；

2

（3）抛物线y=x+2x+4与x轴无交点，△=4﹣16=﹣12＜0，正确；

（4）等腰三角形两边长为6cm和4cm，则它的周长是16cm或14cm，错误； 正确的有（2）（3）， 故选A．

【点评】本题主要考查了抛物线与x轴交点、平方根、三角形三边关系以及等腰三角形的性质等知识，解答本题的关键是熟练掌握各个知识点的定义以及性质，此题难度不大．

8．一列快车从甲地驶往乙地，一列特快车从乙地驶往甲地，快车的速度为100千米/小时，特快车的速度为150千米/小时，甲、乙两地之间的距离为1000千米，两车同时出发，则图中折线大致表示两车之间的距离y（千米）与快车行驶时间（小时）之间的函数图象是（ ）

A． B． C．

D．

【考点】函数的图象．

9

【专题】压轴题．

【分析】分三段讨论，①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小，②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地，这段时间两车距迅速增加，③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大，结合实际选符合的图象即可．

【解答】解：①两车从开始到相遇，这段时间两车距迅速减小； ②相遇后向相反方向行驶到特快到达甲地这段时间两车距迅速增加； ③特快到达甲地至快车到达乙地，这段时间两车距缓慢增大； 结合图象可得C选项符合题意． 故选：C．

【点评】本题考查了函数的图象，解答本题关键是分段讨论，要结合实际解答，明白每条直线所代表的实际含义及拐点的含义．

二、填空题

9．计算：0×（﹣2）﹣7= ﹣7 ． 【考点】有理数的混合运算．

【分析】根据有理数的运算法则和运算顺序计算即可． 【解答】解：0×（﹣2）﹣7 =0﹣7 =﹣7．

故答案为：﹣7．

【点评】本题考查了有理数的运算法则和运算顺序，注意任何数同零相乘，都得0．

22

10．已知x﹣2x﹣3=0，则2x﹣4x的值为 6 ． 【考点】代数式求值．

22

【分析】利用提取公因式法得出2x﹣4x=2（x﹣2x）即可得出代数式的值．

2

【解答】解：∵x﹣2x﹣3=0， 2

∴x﹣2x=3，

22

∴2x﹣4x=2（x﹣2x）=2×3=6． 故答案为：6．

【点评】此题主要考查了提取公因式法求多项式的值，正确分解因式是解题关键．

2

11．因式分解：x﹣1= （x+1）（x﹣1） ． 【考点】因式分解-运用公式法． 【专题】因式分解．

【分析】方程利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）． 故答案为：（x+1）（x﹣1）．

【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．

12．已知∠α与∠β互补，若∠α=43°26′，则∠β= 136°34′ ． 【考点】余角和补角． 【专题】计算题．

【分析】两角互补和为180°，∵∠α与∠β互补，∴∠B=180°﹣∠A． 【解答】解：∵∠α与∠β互补，

10

∴∠B=180°﹣∠A=180°﹣43°26′=136°34′． 故填136°34′．

【点评】此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°．

13．九年级学生在进行跳远训练时，甲、乙两同学在相同条件下各跳10次，统计得他们的平均成绩都是5.68米，甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，那么成绩较为稳定的是 甲 （填“甲”或“乙”）． 【考点】方差．

【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：∵甲的方差为0.3，乙的方差为0.4，0.3＜0.4， ∴成绩较为稳定的是甲． 故答案为：甲．

【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

14．如图，PA、PB切⊙O于点A、B，点C是⊙O上一点，且∠ACB=65°，则∠P= 50 度．

【考点】切线的性质；圆周角定理．

【分析】连接OA，OB．根据圆周角定理和四边形内角和定理求解． 【解答】解：连接OA，OB．

PA、PB切⊙O于点A、B，则∠PAO=∠PBO=90°， 由圆周角定理知，∠AOB=2∠C=130°， ∵∠P+∠PAO+∠PBO+∠AOB=360°， ∴∠P=180°﹣∠AOB=50°．

【点评】本题利用了切线的概念，圆周角定理，四边形的内角和为360度求解．

15．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的侧面积是 20π ． 【考点】圆锥的计算．

【分析】利用勾股定理易得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：AC=3，BC=4，由勾股定理得斜边AB=5，以直线AC为轴，把△ABC旋转一周得到的圆锥的底面半径为4，

11

底面周长=8π，侧面面积=×8π×5=20π．

【点评】本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．

16．用黑白两种颜色的正方形纸片拼成如下一列图案：按这种规律排列第10个图案中有白色纸片 31

张．

【考点】规律型：图形的变化类． 【专题】压轴题；规律型．

【分析】通过观察图形发现其中的规律，并应用规律解决问题．

【解答】解：根据题意分析可得：第1个图案中有白色纸片4个，此后，每个图形都比前一个图形多3个；故按这种规律排列第10个图案中有白色纸片3×9+4=31个．

【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，主要培养学生的观察能力和分析、归纳能力． 三、

17．计算：﹣2+

2

+（3+π）﹣|﹣3|．

0

【考点】实数的运算；零指数幂． 【专题】计算题．

【分析】原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 【解答】解：原式=﹣4+2+1﹣3 =﹣4．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．先化简，再求值：，其中a=．

【考点】分式的化简求值；二次根式的化简求值． 【专题】计算题；压轴题．

【分析】将括号里先通分，除法化为乘法，化简，再代值计算．

【解答】解：原式=（当a=

+1时，

﹣）÷a=×=，

原式===．

【点评】本题考查了分式的化简代值计算，二次根式的化简．关键是按照分式混合运算的步

12

骤解题． 19．如图，△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D在AB上，连结BE．请找出一对全等三角形，并说明理由．

【考点】全等三角形的判定；等腰直角三角形．

【分析】分析 根据等角的余角相等可得出∠ACD=∠BCE，结合CA=CB，CD=CE，可证明△ACD≌△BCE．

【解答】解：△ACD≌△BCE． 证明如下∵∠ACB=∠DCE=90°， ∴∠ACB﹣∠DCB=∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD=∠BCE．

∵△ABC与△CDE均是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°， ∴CA=CB，CD=CE， 在△ACD和△BCE中，

∵，

∴△ACD≌△BCE． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是掌握三角形全等的判定定理．

20．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的长沙﹣我最喜爱的长沙小吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：

请根据所给信息解答以下问题：

13

（1）请补全条形统计图；

（2）若全校有2000名同学，请估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有多少人？

（3）在一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为四种小吃的序号A、B、C、D，随机地摸出一个小球然后放回，再随机地摸出一个小球，请用列表或画树形图的方法，求出恰好两次都摸到“A”的概率．

【考点】条形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法． 【专题】计算题；图表型． 【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“唆螺”的人数，补全条形统计图即可； （2）求出喜欢“臭豆腐”的百分比，乘以2000即可得到结果；

（3）列表得出所有等可能的情况数，找出恰好两次都摸到“A”的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）根据题意得：喜欢“唆螺”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人）， 补全统计图，如图所示：

（2）根据题意得：2000××100%=560（人），

则估计全校同学中最喜爱“臭豆腐”的同学有560人；

（3）列表如下： A B C D A （A，A） （B，A） （C，A） （D，A） B （A，B） （B，B） （C，B） （D，B） C （A，C） （B，C） （C，C） （D，C） D （A，D） （B，D） （C，D） （D，D） 所有等可能的情况有16种，其中恰好两次都摸到“A”的情况有1种，

则P=．

【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．

21．为建设“秀美幸福之市”，长沙市绿化提质改造工程正如火如荼地进行，某施工队计划购买甲、乙两种树苗共400棵对芙蓉路的某标段道路进行绿化改造，已知甲种树苗每棵200元，乙种树苗每棵300元．

14

（1）若购买两种树苗的总金额为90000元，求需购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）若购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额，至少应购买甲种树苗多少棵？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【专题】应用题． 【分析】（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，根据购买两种树苗的总金额为90000元建立方程求出其解即可；

（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，根据购买甲种树苗的金额不少于购买乙种树苗的金额建立不等式求出其解即可． 【解答】解：（1）设购买甲种树苗x棵，则购买乙种树苗（400﹣x）棵，由题意，得 200x+300（400﹣x）=90000， 解得：x=300，

∴购买乙种树苗400﹣300=100棵，

答：购买甲种树苗300棵，则购买乙种树苗100棵；

（2）设应购买甲种树苗a棵，则购买乙种树苗（400﹣a）棵，由题意，得 200a≥300（400﹣a）， 解得：a≥240．

答：至少应购买甲种树苗240棵．

【点评】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时建立方程和不等式是关键．

2

22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．

（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由． 【考点】根的判别式；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理． 【专题】计算题．

2

【分析】（1）根据方程解的定义把x=﹣1代入方程得到（a+c）×（﹣1）﹣2b+（a﹣c）=0，整理得a﹣b=0，即a=b，于是根据等腰三角形的判定即可得到△ABC是等腰三角形；

2222

（2）根据判别式的意义得到△=（2b）﹣4（a+c）（a﹣c）=0，整理得a=b+c，然后根据勾股定理的逆定理得到△ABC是直角三角形． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形．理由如下： ∵x=﹣1是方程的根，

2

∴（a+c）×（﹣1）﹣2b+（a﹣c）=0， ∴a+c﹣2b+a﹣c=0， ∴a﹣b=0， ∴a=b，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下： ∵方程有两个相等的实数根，

2

∴△=（2b）﹣4（a+c）（a﹣c）=0，

222

∴4b﹣4a+4c=0， 222

∴a=b+c，

∴△ABC是直角三角形．

15

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根与△=b﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了勾股定理的逆定理．

23．海上有一小岛，为了测量小岛两端A、B的距离，测量人员设计了一种测量方法，如图所示，已知B点是CD的中点，E是BA延长线上的一点，测得AE=8.3海里，DE=30海里，且DE⊥EC，cos∠D=．

（1）求小岛两端A、B的距离；

（2）过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，求sin∠BCF的值．

22

【考点】解直角三角形的应用． 【分析】（1）在Rt△CED中，利用三角函数求出CE，CD的长，根据中点的定义求得BE的长，AB=BE﹣AE即可求解；

222222

（2）设BF=x海里．在Rt△CFB中，利用勾股定理求得CF=CB﹣BF=25﹣x=625﹣x．在Rt△CFE中，列出关于x的方程，求得x的值，从而求得sin∠BCF的值． 【解答】解：（1）在Rt△CED中，∠CED=90°，DE=30海里， ∴cosD=， ∴CE=40（海里），CD=50（海里）． ∵B点是CD的中点，

∴BE=CD=25（海里）

∴AB=BE﹣AE=25﹣8.3=16.7（海里）． 答：小岛两端A、B的距离为16.7海里．

（2）设BF=x海里．

在Rt△CFB中，∠CFB=90°，

222222

∴CF=CB﹣BF=25﹣x=625﹣x． 在Rt△CFE中，∠CFE=90°，

22222

∴CF+EF=CE，即625﹣x+（25+x）=1600． 解得x=7．

∴sin∠BCF=．

【点评】考查了解直角三角形的应用，关键是熟悉三角函数的知识和勾股定理，同时涉及到方程思想．

24．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．

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（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）若∠PAC=60°，直径AC=4

，求图中阴影部分的面积．

【考点】切线的判定；扇形面积的计算． 【分析】（1）首先连接AN，由以AC为直径的⊙O，可得∠ANC=90°，又由AB=AC，AN⊥BC，可求得∠CAN=∠BCP，继而证得∠ACP=90°，即可判定PC是⊙O的切线；

（2）连接ON，由AB=AC，∠BAC=60°，可得△ABC是等边三角形，然后分别求得△OCN与扇形CON的面积，即可求得答案． 【解答】（1）证明：连接AN， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ANC=90°，

∴∠NAC+∠NCA=90°， ∵AB=AC，AN⊥BC， ∴∠BAN=∠CAN， ∵∠CAB=2∠BCP， ∴2∠CAN=2∠BCP， ∴∠CAN=∠BCP，

∴∠BCP+∠ACB=90°， 即∠ACP=90°， ∴AC⊥PC，

∵AC为⊙O直径，

∴PC是⊙O的切线；

（2）连接ON，

∵AB=AC，∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵ON=OC，

∴△ONC是等边三角形， ∴∠NOC=60°，

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∴OC=NC=AC=×4=2过点O作OE⊥NC于E， ∵sin∠ACB=∴sin60°=∴OE=2

×

， ， =3，

，

∵S△ONC=NC•OE=×2×3=3

．

，S扇形==2π，

∴S阴影=S扇形﹣S△ONC=2π﹣3

【点评】此题考查了切线的判定、扇形的面积以及等边三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

25．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF

（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；

（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；

（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；

①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系； ②若正方形ADEF的边长为2

，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．

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【考点】四边形综合题． 【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此即可证得； （2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC； （3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则OC即可求得． 【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC，

∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC， ∴∠BAD=∠CAF，

则在△BAD和△CAF中，

，

∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴BD=CF， ∵BD+CD=BC， ∴CF+CD=BC；

（2）CF﹣CD=BC；

（3）①CD﹣CF=BC

②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°， ∴∠ACB=∠ABC=45°， ∴AB=AC，

∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF， ∴∠BAD=∠CAF，

∵在△BAD和△CAF中，

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∴△BAD≌△CAF（SAS）， ∴∠ACF=∠ABD， ∵∠ABC=45°， ∴∠ABD=135°，

∴∠ACF=∠ABD=135°， ∴∠FCD=90°，

∴△FCD是直角三角形． ∵正方形ADEF的边长为2∴DF=

且对角线AE、DF相交于点O．

AD=4，O为DF中点．

∴OC=DF=2． 【点评】本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．

26．如图，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为﹣3．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D为抛物线上的一点，点E为对称轴上的一点，且以点A、O、D、E为 顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点D的坐标； （3）若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【考点】二次函数综合题． 【专题】综合题． 【分析】（1）根据顶点坐标设出抛物线的顶点式解析式，将原点坐标代入求出a的值，即可确定出抛物线解析式；

（2）分三种情况考虑，D在第一象限，第二象限以及第三象限，利用平行四边形的性质及坐标与图形性质求出D坐标即可；

（3）根据题意画出图形，根据B横坐标为﹣3，代入抛物线解析式求出纵坐标，确定出B坐标，进而求出BC，BO，OC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形BOC为直角三角形，

2

若P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m+2m，根据相似得比例，列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而求出n的值，即可确

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定出P的坐标． 【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为C（﹣1，﹣1），

∴设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2

﹣1， ∵抛物线经过（0，0），

∴将x=0，y=0代入抛物线解析式得：0=a﹣1， 解得：a=1，

∴y=（x+1）2﹣1=x2

+2x，

令y=0时，x2

+2x=0， 解得x1=0，x2=﹣2， ∴A（﹣2，0）；

（2）如图所示，分三种情况考虑：

当D1在第一象限时，若四边形AOD1E1为平行四边形， ∴AO=E1D1=2，

∵抛物线对称轴为直线x=﹣1， ∴D1横坐标为1，

将x=1代入抛物线y=x2

+2x=1+2=3，即D1（1，3）； 当D2在第二象限时，同理D2（﹣3，3）；

当D3在第三象限时，若四边形AE2OD3为平行四边形，此时D3与C重合，即D3（﹣1，﹣（3）存在，

∵点B在抛物线上，

∴当x=﹣3时，y=9﹣6=3， ∴B（﹣3，3），

根据勾股定理得：BO2=9+9=18；CO2=1+1=2；BC2

=16+4=20，

∴BO2+CO2

=18+2=20，

∴BO2+CO2=BC2

，∴△BOC为直角三角形，

假设存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似，

设P（m，n），由题意得m＞0，n＞0，且n=m2

+2m，

①若△AMP∽△BOC，则

=，即

=，

整理得：m+2=3（m2

+2m）=0，即3m2

+5m﹣2=0， 解得：m1=，m2=﹣2（舍去）， m1=时，n=+=，

∴P（，）；

②若△AMP∽△COB，则

=，即=，

整理得：m2

﹣m﹣6=0，

解得 m1=3，m2=﹣2（舍去）， 当m=3时，n=9+6=15， ∴P（3，15），

1）；21

综上所述，符合条件的点P有两个，分别是P1（，），P2（3，15）．

【点评】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求抛物线解析式，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，利用了数形结合及分类讨论的思想，分类讨论时注意考虑问题要全

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