一．解答题（共20小题）
1．（2019春•沙坪坝区校级月考）有这样一个问题探究函数
（b、
c为常数）的图象和性质．元元根据学习函数的经验，对该函数的图象和性质进行了以下探究：
下面是元元的探究过程，请你补充完整 x y
…… ……
﹣1 0
0 2.5
1 4
2 m
3 4
4 2.5
5 0
6 1
…… ……
（1）根据上表信息，其中b＝ ，c＝ ，m＝ ．
（2）如图，在下面平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的另一部分图象；
（3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质： ．
（4）解决问题：若直线y＝3n+2（n为常数）与该函数图象有3个交点时，求n的范围．
2．（2021春•中原区期中）问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5的图象和性质进行了探究．下面是小刚的探究过程，请你解决相关问题： （Ⅰ）在函数y＝﹣2|x|+5中，自变量x可以是任意实数； （Ⅱ）如表y与x的几组对应值： x
… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1
0
1
2
3
4
…
y … ﹣3 ﹣1 1 3 5 3 1 ﹣1 ﹣3 …
（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点， 并根据描出的点，画出该函数的图象；
（1）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ； （2）观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质 ． （3）直接写出，当0＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是 ．
3．（2018秋•碑林区校级期中）（1）问题提出：将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0），则B点坐标为 ．
（2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知A（4，2）、B（﹣1，1），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出C点坐标．
（3）问题解决：如图3，直线AB：y＝x+4分别于x轴y轴交于A点、B点，D（﹣4，0），△DEF的顶点E、F分别在线段AB、OB上，且∠DEF＝90°，DE＝EF，试求出△DEF的面积．
4．（2019•永康市一模）定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边
三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：
（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：
（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：
（3）将抛物线y1＝﹣x2+2
x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶
点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．
5．（2019秋•碑林区校级月考）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，∠B＝30°，E是AB边上的点，过点E作EF⊥BC于F，则
的值为 ．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，点E是对角线BD上一点，求AE+BE的最小值． 问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点A、B，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°．已知点C（0，﹣4），点D（3，0）连接CQ、DQ，那么DQ+求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
CQ是否存在最小值，若存在
6．（2015秋•武汉期末）问题探究：
在直线y＝x+3上取点A（2，4）、B，使∠AOB＝90°，求点B的坐标． 小明同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：
将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OC，则点C的坐标为： 所以，直线OC的解析式为：
点B为直线AB与直线OC的交点，所以，点B的坐标为： 问题应用： 已知抛物线y＝﹣（1）求直线l的解析式；
（2）抛物线与直线l的另一个交点为Q，当∠POQ＝90°时，求m的值． 7．（2018•湘潭）如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．
（1）若抛物线y＝x2是由抛物线y＝（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
的顶点P在一条定直线l上运动．
8．（2021秋•碑林区校级期中）【问题发现】
（1）如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O落在AB边上的点D处，则点C的坐标为 ． 【问题探究】
（2）如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．
（3）如图③，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（8，6），D在对角线AC上，且CD＝OC，P是OD的中点，Q是OC上一点，将△OPQ沿PQ折叠，使点O落在AC边上的点E处，求点D的坐标及四边形OPEQ的面积．
9．（2021•西安一模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度； 问题探究
（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由； 解决问题
（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．
10．（2021秋•碑林区校级期末）同学们在第一次微课中听取了刘老师与杨老师关于面积等分线练习的讲评，小浩同学对此产生兴趣，上网又查到了长方形的一些性质：长方形的对角线相等且互相平分，对角线所在的直线是其一条面积等分线．请你利用以上性质，帮小浩解决下面问题： 问题发现：
（1）如图①，已知长方形ABCD，请画出它的一条面积等分线l（不经过对角线）； 问题探究：
（2）四边形OABC位于如图②所示的平面直角坐标系中，顶点O位于原点，其余顶点坐标为A（4，6），B（8，7），C（10，0），CE是四边形OABC的一条面积等分线，点E在y轴上，请求出点E的坐标． 问题解决：
（3）全民抗疫，西安加油！如图③，在平面直角坐标系中（长度单位为米），长方形OABC是西安某小区在疫情期间为居民核酸检测围成的一个工作区域，顶点A，C在坐标轴上，O为坐标原点，记顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米．为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
11．（2019秋•雁塔区校级期中）（1）问题提出：如图1，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，4），C的坐标为（﹣2，0），则B点坐标为 ．
（2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知A（8，4）、B（﹣2，2），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出C点坐标．
（3）问题解决：如图3，直线AB：y＝x+8分别于x轴y轴交于A点、B点，D（﹣8，0），△DEF的顶点E、F分别在线段AB、OB上，且∠DEF＝90°，DE＝EF，试求出△DEF的面积．
12．（2019秋•雁塔区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线． 问题探究
（1）如图1，△ABC中，点M是AB边的中点，请你过点M作△ABC的一条面积等分线；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝2，CD＝4，BC＝6，点P是AB的中点，点Q在CD上，试探究当CQ的长为多少时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线； 问题解决
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD是某公司将要筹建的花园示意图，A与原点重合，D、B分别在x轴、y轴上，其中AB＝3，BC＝5，出入口E在边AD上，且AE＝l，拟在边BC、AB、CD、上依次再找一个出入口F、G、H，沿EF、GH修两条笔直的道路（路的宽度不计）将花园分成四块，在每一块内各种植一种花草，并要求四种花草的种植面积相等．请你求出此时直线EF和GH的函数表达式．
13．（2017秋•武汉期末）如图，抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3经过点P（4，5），过点P的直线AM：y＝mx+t1（m＜0）与抛物线交于点M，与x轴交于点A，过点P的另一直线BN：y＝nx+t2（n＞0）与抛物线交于点N，与x轴交于点B，已知PA＝PB． （1）直接写出抛物线的解析式为
问题探究：若点M的横坐标为﹣3，则点N的横坐标为 ，若点M的横坐标为﹣4，则点N的横坐标为 ；
（2）结论猜想：若点M的横坐标为a，点N的横坐标为b，请根据（1）猜想a，b之间的数量关系为 ，并给予证明．
（3）综合应用：已知直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+4交于A，B两点，在抛物线上是否存在点P，连接PA，PB分别交y轴，x轴于点D，C，使∠DPB＝2∠PCO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．问题探究：
直线y＝x与直线y＝﹣2x+6交于点A，则A点坐标为 ．
P为平面直角坐标系中的一点，以A、B（3，1）、P、O为顶点的四边形是平行四边形，
则P点坐标为 ． 问题应用：
如图，已知抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）顶点为P，与y轴相交于点B，直线y＝x﹣m分别与x轴、y轴相交于A、C两点，并且与直线PB相交于点N． （1）求PN的解析式；
（2）在抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）上是否存在点K，使得以K、B、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出K点的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2016秋•碑林区校级期末）（1）问题发现：如图（1），小明在同一个平面直角坐标系中作出了两个一次函数y＝x+1和y＝x﹣1的图象，经测量发现：∠1 ∠2（填数量关系）则l1 l2（填位置关系），从而二元一次方程组
无解．
（2）问题探究：小明发现对于一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1≠b2），设它们的图象分别是l1和l2（如备用图1）
①如果k1 k2（填数量关系），那么l1 l2（填位置关系）；
②反过来，将①中命题的结论作为条件，条件作为结论，所得命题可表述为 ，请判断此命题的真假或举出反例；
（3）问题解决：若关于x，y的二元一次方程组
（各项系数均不为0）
无解，那么各项系数a1、b1、c1、a2、b2、c2应满足什么样的数量关系？请写出你的结论．
16．（2018•陕西模拟）（1）问题提出
如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高． （2）问题探究
如图②，在△ABC中，AB＝AC≠BC，点P为射线BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由． （3）问题解决
如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（2）中的结论求出点M的坐标．
17．（2021秋•雁塔区校级期末）预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P（3t，2﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点P（3t，2﹣t）代入得：2﹣t＝k•3t+b，整理得（3k+1）t+b﹣2＝0． ∵t为任意实数，等式恒成立； ∴3k+1＝0，b﹣2＝0． ∴k＝﹣，b＝2．
∴这条直线的函数表达式为y＝﹣x+2．
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P（2t，3﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，9），且∠BAC＝90°，AB＝AC，则点C的坐标为 ．
结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q是直线y＝﹣x+2
上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′＝PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值．
18．（2022春•亭湖区校级月考）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． 【概念理解】
（1）如图1，在7×7的方格纸中，线段AB的端点都在格点上，请在所给的方格图中画出△ABC，使ABC为“等高底”三角形，且点C在格点上（画出一个即可）：
（2）如图2，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由． 【问题探究】
如图3，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△EBC，连接AE交直线BC于点D．若点B是△AEC的重心，求【应用拓展】
如图4，△OAB中，点B的坐标为（0，2），点A在射线y＝x（x≥0）上，若△OAB是“等高底”三角形，求点A的坐标．
的值．
19．（2020•玉田县一模）问题探究．
如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），C（6，0），以O，A，C为顶点作矩形OABC，动点P从点A出发，沿AO以4个单位每秒的速度向O运动；同时动点Q从点O出发沿OC以3个单位每秒的速度向C运动．设运动时间为t，当动点P，Q中的任何一个点到达终点后，两点同时停止运动．连接PQ． 【情景导入】当t＝1时，求出直线PQ的解析式．
【深入探究】①连接AC，若△POQ与△AOC相似，求出t的值．
②如图，取PQ的中点M，以QM为半径向右侧作半圆M，直接写出半圆M的面积的最小值，并直接写出此时t的值．
【拓展延伸】如图，过点A作半圆M的切线，交直线BC于点H，于半圆M切于点N． ①在P，Q的整个运动过程中，点H的运动路径为 ．
②若固定点H（6，2）不动，则在整个运动过程中，半圆M能否与梯形AOCH相切？若能，求出此时t的值；若不能，请证明．
20．（2020•陕西一模）问题探究
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；
（2）如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积； 问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中
OA∥BC，点P处有一个休息站点（占地面积忽略不计），李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l（路的宽度不计），使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A（8，8）、B（6，12）、P（3，6）．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．
2022年中考数学复习探究性试题汇编之函数
参考答案与试题解析
一．解答题（共20小题）
1．（2019春•沙坪坝区校级月考）有这样一个问题探究函数
（b、
c为常数）的图象和性质．元元根据学习函数的经验，对该函数的图象和性质进行了以下探究：
下面是元元的探究过程，请你补充完整 x y
…… ……
﹣1 0
0 2.5
1 4
2 m
3 4
4 2.5
5 0
6 1
…… ……
（1）根据上表信息，其中b＝ 2 ，c＝ 2.5 ，m＝ 4.5 ．
（2）如图，在下面平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，并画出该函数的另一部分图象；
（3）观察函数图象，请写出该函数的一条性质： 当x＜2时，y随x的增大而增大 ． （4）解决问题：若直线y＝3n+2（n为常数）与该函数图象有3个交点时，求n的范围．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；二次函数图象及其性质．
【分析】（1）利用待定系数法以及二次函数图象上点的坐标特征可得答案； （3）根据描点法画函数图象，可得答案；
（4）根据图象的变化趋势，可得答案； （5）根据图象，可得答案．
【解答】解：（1）由表格数据得：当x＝﹣1时，y＝0；当x＝5时，y＝0；当x＝0时，y＝2.5； ∴﹣b＝
＝2，c＝2.5
∴y＝
∴当x＝2时，y＝4.5，即m＝4.5 故答案为：2，2.5，4.5； （2）图象如下：
（3）观察图象可知：当x＜2时，y随x的增大而增大 故答案为：当x＜2时，y随x的增大而增大 （4）∵当x＝2时，y＝4.5；
∴由图象可知直线y＝4.5与该函数图象有2个交点，直线y＝0与该函数图象有2个交点， ∴直线y＝3n+2（n为常数）与该函数图象有3个交点时，0＜3n+2＜4.5 ∴﹣＜n＜．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，利用描点法画函数图象，利用图象得出函数的性质是解题关键．
2．（2021春•中原区期中）问题探究：小江同学根据学习函数的经验，对函数y＝﹣2|x|+5
的图象和性质进行了探究．下面是小刚的探究过程，请你解决相关问题： （Ⅰ）在函数y＝﹣2|x|+5中，自变量x可以是任意实数； （Ⅱ）如表y与x的几组对应值： x y
… ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … ﹣3 ﹣1
1
3
0 5
1 3
2 1
3
4
… …
﹣1 ﹣3
（Ⅲ）如图，在平面直角坐标系中，描出以表中各对对应值为坐标的点， 并根据描出的点，画出该函数的图象；
（1）若A（m，n），B（6，n）为该函数图象上不同的两点，则m＝ ﹣6 ； （2）观察函数y＝﹣2|x|+5的图象，写出该图象的两条性质 图象关于y轴对称；函数最大值为5； ．
（3）直接写出，当0＜﹣2|x|+5≤3时，自变量x的取值范围是 ﹣＜x≤﹣1或1≤x＜ ．
【考点】一次函数的应用；一次函数与一元一次不等式．
【专题】一次函数及其应用；应用意识． 【分析】（Ⅲ）根据题意画出函数图象；
（1）当x＝6时，根据函数解析式可求得n，将y＝﹣7代入函数解析式可求得m； （2）根据图象特征即可写出图象的两条性质； （3）根据题意列不等式组即可求得．
【解答】解：（Ⅲ）在平面直角坐标系中，描点、连线，画出函数图象如图所示：
（1）将x＝6代入函数解析式得n＝﹣2×|6|+5＝﹣7， 将y＝﹣7代入函数解析式的：﹣7＝﹣2|x|+5， 解得：x＝±6， ∴m＝﹣6， 故答案为：﹣6；
（2）由图知，函数y＝﹣2|x|+5的图象关于y轴对称，且函数最大值为5． 故答案为：图象关于y轴对称；函数最大值为5； （3）原不等式变形为
解得
，
故自变量x的取值范围是﹣＜x≤﹣1或1≤x＜．
【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式，数形结合是解题的关键．
3．（2018秋•碑林区校级期中）（1）问题提出：将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，2），C的坐标为（﹣1，0），则B点坐标为 （﹣3，1） ．
（2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知A（4，2）、B（﹣1，1），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出C点坐标．
（3）问题解决：如图3，直线AB：y＝x+4分别于x轴y轴交于A点、B点，D（﹣4，0），△DEF的顶点E、F分别在线段AB、OB上，且∠DEF＝90°，DE＝EF，试求出△DEF的面积．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；开放型；数形结合．
【分析】（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，易证△BEC≌△COA（AAS），EO＝EC+CO＝2+1＝3，BE＝1，即可求解；
（2）同理△ABE≌△CAD（AAS），则：BE＝AD，AE＝CD＝1，即可求解；
（3）同理△EGD≌△EHF（AAS），则EG＝EH，设点E的坐标为（x，y），即：x＝﹣y，则：y＝x+4＝﹣x，即可求解．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，
∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠BCE＝∠CAO，
又∠BEC＝∠COA＝90°，BC＝AC， ∴△BEC≌△COA（AAS）， ∴EC＝AO＝2，CO＝BE＝1， ∴EO＝EC+CO＝2+1＝3，BE＝1， 故：答案为（﹣3，1）；
（2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、D，
同理△ABE≌△CAD（AAS）， ∴BE＝AD，AE＝CD＝1， BE＝4+1＝5＝AD，
∴点C的横坐标为：5﹣1﹣1＝3， C点的纵坐标为：1+ED＝1+5+1＝7， 故点C的坐标为（3，7）；
（3）过点E分别作x轴、y轴的垂线，交于点G、F，GE、DF交于点K， 同理△EGD≌△EHF（AAS），
∴DG＝HF，EG＝EH，设点E的坐标为（x，y）， 即：x＝﹣y，则：y＝x+4＝﹣x， 解得：x＝﹣＝﹣y，则点E（﹣，）， DG＝OD﹣OG＝4﹣＝＝HF， OF＝OH﹣HF＝，
S△DEF＝S梯形EHOD﹣S△EFH﹣S△ODF＝×（+4）×﹣
×﹣×4×＝
．
【点评】本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用三角形与直线的关系以及直角三角形等知识，求出线段的长是解题的关键．
4．（2019•永康市一模）定义：若抛物线的顶点和与x轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时．则称此抛物线为正抛物线． 概念理解：
（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．试证明：以点A为顶点，且与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线； 问题探究：
（2）已知一条抛物线经过x轴的两点E、F（E在F的左边），E（1，0）且EF＝2若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展：
（3）将抛物线y1＝﹣x2+2
x+9向下平移9个单位后得新的抛物线y2．抛物线y2的顶
点为P，与x轴的两个交点分别为M、N（M在N左侧），把△PMN沿x轴正半轴无滑动翻滚，当边PN与x轴重合时记为第1次翻滚，当边PM与x轴重合时记为第2次翻滚，依此类推…，请求出当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；新定义；规律型；数形结合；分类讨论；二次函数图象及其性质；等腰三角形与直角三角形．
【分析】（1）由Rt△ABC中AD是斜边BC的中线可得AD＝CD，由抛物线对称性可得AD＝AC，即证得△ACD是等边三角形．
（2）设抛物线顶点为G，根据正抛物线定义得△EFG是等边三角形，又易求E、F坐标，即能求G点坐标．由于不确定点G纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式．
（3）根据题意求出抛物线y2的解析式，并按题意求出P、M、N的坐标，得到等边△PMN，所以当△PMN翻滚时，每3次为一个周期，点P回到x轴上方，且横坐标每多一个周期即加6
，其规律为当翻滚次数n能被3整除时，横坐标为：
+n×2
＝（2n+1）
．2019能被3整除，代入即能求此时点P坐标． 【解答】解：（1）证明：∠BAC＝90°，点D是BC的中点 ∴AD＝BD＝CD＝BC
∵抛物线以A为顶点与x轴交于D、C两点 ∴AD＝AC ∴AD＝AC＝CD ∴△ACD是等边三角形
∴以A为顶点与x轴交于D、C两点的抛物线是正抛物线．
（2）∵E（1，0）且EF＝2，点F在x轴上且E在F的左边 ∴F（3，0）
∵一条经过x轴的两点E、F的抛物线为正抛物线，设顶点为G ∴△EFG是等边三角形 ∴xG＝①当G（2，
，|yG|＝
）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+
＝0
把点E（1，0）代入得：a+∴a＝﹣∴y＝﹣
（x﹣2）2+
②当G（2，﹣
）时，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2﹣
＝0
把点E（1，0）代入得：a﹣∴a＝∴y＝
（x﹣2）2﹣
综上所述，这条抛物线的解析式为y＝﹣
（3）∵抛物线y1＝﹣x2+2
x+9＝﹣（x﹣
（x﹣2）2+
或y＝
（x﹣2）2﹣
）2+12
）2+3
∴y1向下平移9个单位后得抛物线y2＝﹣（x﹣∴P（
，3），M（0，0），N（2
，0）
∴PM＝MN＝PN＝2
∴△PMN是等边三角形
∴第一次翻滚顶点P的坐标变为P1（4滚得P3（7
，3）
，0），第二次翻滚得P2与P1相同，第三次翻
即每翻滚3次为一个周期，当翻滚次数n能被3整除时，点P纵坐标为3，横坐标为：×2
＝（2n+1）
+n
∵2019÷3＝673 ∴（2×2019+1）×
＝4039
，3）．
∴当第2019次翻滚后抛物线y2的顶点P的对应点坐标为（4039
【点评】本题考查了新定义的理解、性质运用，二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质．第（3）题的解题关键是发现等边△PMN每3次翻滚看作一个周期，点P对应点坐标的特征，是规律探索的典型题． 5．（2019秋•碑林区校级月考）问题探究
（1）如图①，在△ABC中，∠B＝30°，E是AB边上的点，过点E作EF⊥BC于F，则
的值为
．
（2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ABC，点E是对角线BD上一点，求AE+BE的最小值． 问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4分别与x轴，y轴交于点A、B，点P为直线AB上的动点，以OP为边在其下方作等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°．已知点C（0，﹣4），点D（3，0）连接CQ、DQ，那么DQ+求出其最小值及此时点P的坐标，若不存在请说明理由．
CQ是否存在最小值，若存在
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识． 【分析】（1）由已知可得BE＝2EF；
（2）过点A作AF⊥BC，交BD于点E，则EF＝BE，当A、E、F三点共线时，AE+BE的值最小，在Rt△ABF中，求出AF＝3
即可；
（3）由P点的运动，可以确定Q点在直线AC上，求出直线AC的解析式为y＝x﹣4，作D点关于直线AC的对称点D'，过点D'作D'H⊥y轴，交直线AC于点Q，则HD'即为所求；可得HQ＝
CQ，由对称性可得：DQ＝D'Q，所以DQ+
CQ＝D'Q+HQ＝HD'
即为最小；求得D'（4，﹣1），则HD'＝4，所以DQ+CQ的最小值为4；此时Q（3，
﹣1），设P（x，4﹣x），则有x2+（x﹣4）2＝10，求出P点． 【解答】解：（1）∵∠B＝30°，EF⊥BC， ∴BE＝2EF， ∴
＝，
故答案为；
（2）过点A作AF⊥BC，交BD于点E， ∵∠ABC＝60°，BD平分∠ABC， ∴EF＝BE， ∴AE+BE＝AE+EF，
当A、E、F三点共线时，AE+BE的值最小， 在Rt△ABF中，AB＝6， ∴AF＝3
，
；
∴AE+BE的最小值3
（3）∵等腰Rt△OPQ且∠POQ＝90°，P点在直线y＝﹣x+4上， ∴Q点在直线AC上， ∵A（4，0），C（0，﹣4）， ∴直线AC的解析式为y＝x﹣4，
作D点关于直线AC的对称点D'，过点D'作D'H⊥y轴，交直线AC于点Q， 则HD'即为所求；
∵∠BCA＝45°， ∴HQ＝
CQ，
由对称性可得：DQ＝D'Q， ∴DQ+
CQ＝D'Q+HQ＝HD'即为最小；
∵D（3，0）， ∴D'（4，﹣1）， ∴HD'＝4， ∴DQ+
CQ的最小值为4；
此时Q（3，﹣1）， 设P（x，4﹣x）， 则有x2+（x﹣4）2＝10， ∴x＝1或x＝3，
∴P（1，3）或P（3，1）（舍）； 综上所述：DQ+
CQ的最小值为4，此时P（1，3）．
【点评】本题考查一次函数的图象及性质；熟练掌握一次函数的图象及性质，利用轴对称转化线段，进行构造是求最短距离的关键． 6．（2015秋•武汉期末）问题探究：
在直线y＝x+3上取点A（2，4）、B，使∠AOB＝90°，求点B的坐标． 小明同学是这样思考的，请你和他一起完成如下解答：
将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OC，则点C的坐标为： （﹣4，2） 所以，直线OC的解析式为： y＝﹣x
点B为直线AB与直线OC的交点，所以，点B的坐标为： （﹣3，） 问题应用： 已知抛物线y＝﹣（1）求直线l的解析式；
（2）抛物线与直线l的另一个交点为Q，当∠POQ＝90°时，求m的值． 【考点】二次函数综合题．
的顶点P在一条定直线l上运动．
【分析】根据旋转的性质，可得OA与OC的关系，根据全等三角形的判定与性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得OC的解析式，根据联立AB与OC，可得方程组，根据解方程组，可得B点坐标；
（1）根据配方法，可得P点坐标，根据P点横坐标与纵坐标的关系，可得直线l的解析式；
（2）根据联立抛物线与直线l，可得方程组，根据解方程组，可得P，Q点的坐标，根据旋转的性质，可得K点坐标，根据待定系数法，可得OK的解析式，根据联立OK与直线l，可得方程组，根据解方程组，可得m的值．
【解答】解：如图1
将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到OC， 在△OAD和△OCD中，
，
△OAD≌△OCD（AAS）， CE＝AD＝2，OE＝OD＝4， 点C的坐标为：（﹣4，2 ）； 直线OC的解析式为：y＝﹣x； 联立OC与AB，得
，
解得，
点B的坐标为：（﹣3，）； 故答案为：（﹣4，2），（﹣3，）．
（1）∵抛物线y＝﹣x2+mx﹣m2+m+ ＝﹣（x2﹣2mx+m2）+m+ ＝﹣ （x﹣m）2+m+．
，
所以，顶点P的坐标为（m，m+）， ∴点P在直线y＝x+上运动． 即直线l的解析式为：y＝x+①．
（2）因为，点P，Q为直线l与抛物线的交点，
所以，
加减消元，得
x+＝﹣ （x﹣m）2+m+． 解之，得，x1＝m，x2＝m﹣3．
所以，P的坐标为（m，m+），Q的坐标为（m﹣3，将线段OP绕点O逆时针旋转90°得到OK，得 点K的坐标为：（﹣m﹣，m）； 所以，直线OK的解析式为：y＝﹣
x②；
）．
因为当∠POQ＝90°时，点Q在直线OK上． 联立①②，得 （m+2）＝﹣解得m＝1．
抛物线与直线l的另一个交点为Q，当∠POQ＝90°时，m的值是1．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用线段旋转的性质得出OC＝OA是解题关键，又利用全等三角形的性质得出C点坐标，再利用解方程得出B点坐标；利用配方法得出顶点坐标所在直线是解题关键．
7．（2018•湘潭）如图，点P为抛物线y＝x2上一动点．
（1）若抛物线y＝x2是由抛物线y＝（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；
（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．
（m﹣3）．
①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM＝PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．
②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．
【考点】二次函数综合题．
【专题】数形结合；转化思想；二次函数图象及其性质． 【分析】（1）找到抛物线顶点坐标即可找到平移方式． （2）①设出点P坐标，利用PM＝PF计算BF，求得F坐标；
②利用PM＝PF，将QP+PF转化为QP+PM，利用垂线段最短解决问题． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1），
2∴抛物线y＝（x+2）﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y＝x2
的图象．
（2）①存在一定点F，使得PM＝PF恒成立． 如图一，过点P作PB⊥y轴于点B，
设点P坐标为（a，a2）， ∴PM＝PF＝a2+1，
∵PB＝|a|， ∴Rt△PBF中，BF＝
∵BF＝|a2﹣1|，OB＝a2， ∴OF＝1，
∴点F坐标为（0，1）． ②如图二中，
＝
＝|a2﹣1|，
由①，PM＝PF，
QP+PF的最小值为QP+PM的最小值，
当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．
∴QP+PF的最小值为6．
【点评】本题以二次函数为背景，考查了数形结合思想、转换思想和学生解答问题的符号意识．
8．（2021秋•碑林区校级期中）【问题发现】
（1）如图①，将Rt△AOB置于平面直角坐标系中，直角顶点O与原点重合，点A落在x轴上，点B落在y轴上，已知A（4，0），B（0，3），C是x轴上一点，将Rt△AOB沿BC折叠，使点O落在AB边上的点D处，则点C的坐标为 （，0） ． 【问题探究】
（2）如图②，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，已知B（12，5），E是OA上一点，将长方形OABC沿CE折叠，点O恰好落在对角线AC上的点F处，求OF所在直线的函数表达式．
（3）如图③，将长方形OABC置于平面直角坐标系中，点A在y轴上，点C在x轴上，
已知B（8，6），D在对角线AC上，且CD＝OC，P是OD的中点，Q是OC上一点，将△OPQ沿PQ折叠，使点O落在AC边上的点E处，求点D的坐标及四边形OPEQ的面积．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【分析】（1）设OC为x，根据折叠和勾股定理列方程即可得出C点的坐标；
（2）求出AC的解析式，根据解析式设点F的坐标，依据勾股定理列出方程求解即可求出坐标，再用待定系数法求解析式即可；
（3）同理（2）求出点D的坐标，由折叠可知OE⊥AC，可知Q是OC中点，可得四边形面积是△ODC面积的一半，求三角形的面积即可． 【解答】解：（1）设OC为x， ∵A（4，0），B（0，3）， ∴AB＝
＝
＝5，
由翻折可知，DB＝OB＝3，OC＝CD＝x， ∴AD＝2，
由勾股定理得，AD2+CD2＝AC2， 即x2+22＝（4﹣x）2， 解得x＝，
∴点C的坐标为（，0）， 故答案为：（，0）；
（2）∵长方形OABC，点A在y轴上，点C在x轴上，B（12，5），
∴A（0，5），C（12，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A点和C点坐标代入得，
，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+5，
由翻折可知，OC＝CF＝12，AF＝1， 设OE＝EF＝y，
由勾股定理得，EF2+AF2＝AE2， 即y2+12＝（5﹣y）2， 解得y＝2.4， 即OE＝EF＝2.4， ∴AE＝2.6，
设点F的坐标为（m，﹣∴×AF•EF＝AE•xF， 即×1×2.4＝×2.6m， 解得m＝
，
，
），
＝
d，
m+5），
则点F的坐标为（
设直线OF的解析式为y＝dx，代入F点坐标得，解得d＝5，
∴直线OF的解析式为y＝5x； （3）连接OE，
∵P是OD的中点， ∴OP＝PD，
由折叠可知，OP＝PD＝PE，OE⊥PQ， ∴∠POE＝∠PEO，∠PED＝∠PDE， ∴∠PEO+∠PED＝90°， ∴OE⊥CD， ∴PQ∥CD， ∴Q是OC的中点，
∴三角形OPQ的面积是三角形OCD面积的四分之一，四边形OPEQ的面积是三角形OCD面积的二分之一， ∵B（8，6），
∴A（0，6），C（8，0）， ∴AC＝
＝
＝10，
∴OA•OC＝AC•OE， 即×6×8＝×10×OE， 解得OE＝4.8， ∵OC＝CD＝8，
∴三角形OCD的面积为：CD•OE＝×8×4.8＝19.2， ∴四边形OPEQ的面积是×19.2＝9.6， ∵三角形OCD的面积为19.2，OC＝8， ∴点D的纵坐标为19.2×2÷8＝4.8，
设直线AC的解析式为y＝nx+e，把A点和C点坐标代入得，，
解得，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6，
∵点D在直线AC上，当y＝4.8时，4.8＝﹣x+6， 解得x＝1.6，
∴点D的坐标为（1.6，4.8）．
【点评】本题主要考查一次函数的性质及勾股定理等知识，熟练掌握一次函数的性质、待定系数法求解析式及勾股定理的知识是解题的关键． 9．（2021•西安一模）问题提出
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，在BC上找一点D，使得AD将△ABC分成面积相等的两部分，作出线段AD，并求出AD的长度； 问题探究
（2）如图②，点A、B在直线a上，点M、N在直线b上，且a∥b，连接AN、BM交于点O，连接AM、BN，试判断△AOM与△BON的面积关系，并说明你的理由； 解决问题
（3）如图③，刘老伯有一个形状为筝形OACB的养鸡场，在平面直角坐标系中，O（0，0）、A（4，0）、B（0，4）、C（6，6），是否在边AC上存在一点P，使得过B、P两点修一道笔直的墙（墙的宽度不计），将这个养鸡场分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线BP的表达式；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】转化思想；面积法；模型思想．
【分析】（1）当点D是BC的中点时，AD将△ABC分成面积相等的两部分，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一般，可求出AD的长度；
（2）根据同底等高的三角形面积相等，再减去相等的部分，就可以得出△AOM与△BON的面积相等；
（3）连接AB，过点O作AB的平行线，交CA的延长线于点F，交OA于点G，则△OBG的面积等于△AFG的面积，则四边形OACB的面积转化为△BCF的面积，取CF的中点P，求出点P的坐标，即可求出直线BP的表达式．
【解答】解：（1）如图①，取BC边的中点D，连接AD，则线段AD即为所求．
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4， ∴BC＝
，
∵点D为BC的中点， ∴AD＝BC＝．
（2）S△AOM＝S△BON，理由如下：
由图可知，S△AOM＝S△ABM﹣S△AOB，S△BON＝S△ABN﹣S△AOB， 如图②，过点M作MD⊥AB于点D，过点N作NE⊥AB于点E，
∴MD∥NE，∠MDE＝90°， 又∵MN∥DE，
∴四边形MDEN是矩形， ∴MD＝NE， ∵S△ABM＝
，S△ABN＝
，
∴S△ABM＝S△ABN， ∴S△AOM＝S△BON．
（3）存在，直线BP的表达式为：y＝
x+4．
如图③，连接AB，过点O作OF∥AB，交CA的延长线于点F，交OA于点G，
由（2）的结论可知，S△OBG＝S△AFG， ∴S四边形OACB＝S△BCF，
取CF的中点P，作直线BP，直线BP即为所求． ∵A（4，0），B（0，4），C（6，6）， ∴线段AB所在直线表达式为：y＝﹣x+4， 线段AC所在直线的表达式为：y＝3x﹣12， ∴直线OF的表达式为：y＝﹣x， 联立
，解得
，
∴F（3，﹣3）， ∵点P是CF的中点， ∴P（，），
∴直线BP的表达式为：y＝
x+4．
【点评】主要考查了勾股定理，中点的性质，面积转化以及待定系数法求一次函数表达式等内容，熟练掌握勾股定理的内容，中点性质的应用，作出辅助线，进行面积的转化是解答本题的关键．
10．（2021秋•碑林区校级期末）同学们在第一次微课中听取了刘老师与杨老师关于面积等分线练习的讲评，小浩同学对此产生兴趣，上网又查到了长方形的一些性质：长方形的对角线相等且互相平分，对角线所在的直线是其一条面积等分线．请你利用以上性质，
帮小浩解决下面问题： 问题发现：
（1）如图①，已知长方形ABCD，请画出它的一条面积等分线l（不经过对角线）； 问题探究：
（2）四边形OABC位于如图②所示的平面直角坐标系中，顶点O位于原点，其余顶点坐标为A（4，6），B（8，7），C（10，0），CE是四边形OABC的一条面积等分线，点E在y轴上，请求出点E的坐标． 问题解决：
（3）全民抗疫，西安加油！如图③，在平面直角坐标系中（长度单位为米），长方形OABC是西安某小区在疫情期间为居民核酸检测围成的一个工作区域，顶点A，C在坐标轴上，O为坐标原点，记顶点B（20，12），原有的一个出入口D在边OC上，且CD＝4米．为使工作高效有序，现计划在边AB，OA，BC上依次再设出入口E，G，H，沿DE，GH拉两道警戒线将工作区域分成面积相等的四部分．请问，是否存在满足上述条件的点E，H，G，如存在，请求出点E的坐标及GH的函数表达式，如不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】图表型；推理能力．
【分析】（1）找出图形的中点，即可画出一条面积等分线；
（2）几何知识的综合应用，分清矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，逐一分析坐标后，找到一条面积等分线，列式计算，即可解决问题；
（3）利用图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，即可解决问题． 【解答】解（1）如图①：过点O作MN，分别交AD、BC于M、N，
∵点O为正方形ABCD的对角线交点， ∴点为AC、BD的中点，
∴点M、点N分别是AD、BC的中点，
∴长方形ABNM的面积＝长方形MNCD的面积， ∴MN为长方形ABCD的一条面积等分线．
（2）如图②：过点A作AP⊥OC交OC于P，过点B作BQ⊥OC交OC于Q，
∵A（4，6），B（8，7），C（10，0）， ∴S四边形OABC＝S△OAP+S四边形APQB+S△BQC ＝＝45， ∵S△AOC＝
，且30＞
，
∴CE与OA有交点，并假设该交点为F， ∵CE是四边形OABC的一条面积等分线， ∴S△OFC＝•S四边形OABC＝∴yF＝， ∵点F在OA上， ∴y＝
，
，即
，
又∵yF＝，
∴xF＝3， ∴F（3，），
∵C（10，0），F（3，）， ∴直线CF的方程为：y＝﹣令x＝0，得y＝
，
）．
，
∴点E的坐标为（0，
（3）如图3：在AB上取AE＝CD＝4，连接DE，则E（4，12），
取DE的中点M，AO的中点N，连接MN， 则MN是梯形AODE的中位线， ∴MN＝
（米），
AN＝ON＝6（米）， ∴点M的坐标为（10，6），
由于长方形被分成四块面积相等的部分， ∴每块面积为：又∵S梯形AEMN＝
（平方米），
（平方米），
在点的下方取一点G，使S△MNG＝60﹣42＝18（平方米）， 由S＝NG•MN得：NG＝∴OG＝6﹣3.6＝2.4（米）， ∴点G坐标为（0，2.4）， 连接GM并延长交BC于H， 则D、E、G、H为所求作的点，
（米），
设GH的解析式为：y＝kx+b， 则b＝2.4，10k+b＝6， 解得：k＝0.36，b＝2.4， ∴y＝0.36x+2.4．
【点评】主要考查了图形的设计，待定系数法求一次函数的解析式，矩形的性质，面积的等分线，梯形的性质等知识，解题关键是利用面积确定点G的位置．
11．（2019秋•雁塔区校级期中）（1）问题提出：如图1，将一块等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐标系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的负半轴上，点B在第二象限，点A坐标为（0，4），C的坐标为（﹣2，0），则B点坐标为 （﹣6，2） ．
（2）问题探究：如图2，平面直角坐标系中，已知A（8，4）、B（﹣2，2），若∠A＝90°，点C在第一象限，且AB＝AC，试求出C点坐标．
（3）问题解决：如图3，直线AB：y＝x+8分别于x轴y轴交于A点、B点，D（﹣8，0），△DEF的顶点E、F分别在线段AB、OB上，且∠DEF＝90°，DE＝EF，试求出△DEF的面积．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；运算能力；推理能力．
【分析】（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，易证△BEC≌△COA（AAS），EO＝EC+CO＝4+2＝6，BE＝2，即可求解；
（2）根据△ABE≌△CAD（AAS）得到：BE＝AD，AE＝CD＝2，即可求解；
（3）根据△EGD≌△EHF（AAS）得到：EG＝EH，设点E的坐标为（x，y），即：x＝﹣y，则：y＝x+8＝﹣x，即可求解．
【解答】解：（1）过点B作x轴的垂线，交x轴于点E，
∵∠BCE+∠ACO＝90°，∠ACO+∠CAO＝90°， ∴∠BCE＝∠CAO，
又∠BEC＝∠COA＝90°，BC＝AC， ∴△BEC≌△COA（AAS）， ∴EC＝AO＝4，CO＝BE＝2， ∴EO＝EC+CO＝4+2＝6，BE＝2， 故答案为：（﹣6，2）；
（2）过点B、点C分别作x轴的平行线、分别交过点A与x轴的垂线于点E、F，
同（1）知，△ABE≌△CAD（AAS）， ∴BE＝AD，AE＝CD＝4， BE＝8+2＝10＝AD，
∴点C的横坐标为：10﹣2﹣2＝6， C点的纵坐标为：2+ED＝2+10+2＝14， 故点C的坐标为（6，14）；
（3）过点E分别作x轴、y轴的垂线，交于点G、F，GE、DF交于点K， 同（1）知，△EGD≌△EHF（AAS），
∴DG＝HF，EG＝EH，设点E的坐标为（x，y），
即：x＝﹣y，则：y＝x+8＝﹣x， 解得：x＝﹣
＝﹣y，则点E（﹣
＝＝HF，
，
），
DG＝OD﹣OG＝8﹣OF＝OH﹣HF＝S△DEF＝S
．
梯形
，
×（
+8）×
﹣×
×﹣×8×＝
EHOG﹣S△EFH﹣S△ODF＝
【点评】综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用三角形与直线的关系以及直角三角形等知识，求出线段的长是解题的关键．
12．（2019秋•雁塔区校级期中）如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的面积等分线． 问题探究
（1）如图1，△ABC中，点M是AB边的中点，请你过点M作△ABC的一条面积等分线；
（2）如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，CD⊥AD，AD＝2，CD＝4，BC＝6，点P是AB的中点，点Q在CD上，试探究当CQ的长为多少时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线； 问题解决
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD是某公司将要筹建的花园示意图，A与原点重合，D、B分别在x轴、y轴上，其中AB＝3，BC＝5，出入口E在边AD上，且AE＝l，拟在边BC、AB、CD、上依次再找一个出入口F、G、H，沿EF、GH修两条笔直的道路（路的宽度不计）将花园分成四块，在每一块内各种植一种花草，并要求四种花草的种植面积相等．请你求出此时直线EF和GH的函数表达式．
【考点】一次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；一次函数及其应用；图形的全等；矩形 菱形 正方形；梯形；推理能力．
【分析】（1）连接CM，得出△ACM的面积＝△BCM的面积，得出CM是△ABC的一条面积等分线；
（2）连接PC/AC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，则AM∥PN，四边形AMCD是矩形，求出PN是△ABM的中位线，得出PN＝AM＝2，得出△BCP的面积＝6，由题意得出四边形PBCQ的面积＝梯形ABCD的面积＝8，得出△PCQ的面积＝2＝CQ×CN＝CQ×4，解得CQ＝1即可；
（3）连接AC、BD交于点P，证明△PCF≌△PAE（ASA），得出CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝3，得出E（1，0），F（4，3），由待定系数法求出直线EF的解析式为y＝x﹣1；同理△BPG≌△DPH（ASA），得出BG＝DH，求出H（5，），G（0，法求出直线GH的解析式为y＝﹣
x+
．
），由待定系数
【解答】解：（1）连接CM，如图1所示： ∵点M是AB边的中点，
∴△ACM的面积＝△BCM的面积， ∴CM是△ABC的一条面积等分线；
（2）当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；理由如下： 连接PC、AC，作AM⊥BC于M，PN⊥BC于N，如图2所示： 则AM∥PN，四边形AMCD是矩形， ∴AM＝CD＝4，CM＝AD＝2， ∴BM＝BC﹣CM＝4， ∵点P是AB的中点，
∴PN是△ABM的中位线， ∴PN＝AM＝2，
∴△BCP的面积＝×6×2＝6，
∵梯形ABCD的面积＝（AD+BC）×CD＝（2+6）×4＝16，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线；
∴四边形PBCQ的面积＝梯形ABCD的面积＝8， ∴△PCQ的面积＝8﹣6＝2＝CQ×CN＝CQ×4， 解得：CQ＝1，
即当CQ的长为1时，直线PQ是四边形ABCD的一条面积等分线； （3）连接AC、BD交于点P，如图3所示： ∵EF、GH将花园分成四块，且面积相等， ∴EF、GH经过点P， ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，CD＝AB＝3，PA＝PC，AD∥BC， ∴∠PCF＝∠PAE， 在△PCF和△PAE中，∴△PCF≌△PAE（ASA）， ∴CF＝AE＝1，BF＝5﹣1＝3， ∴E（1，0），F（4，3）， 设直线EF的解析式为y＝kx+b， 把E（1，0），F（4，3）代入得：解得：
，
， ，
∴直线EF的解析式为y＝x﹣1； 同理：△BPG≌△DPH（ASA）， ∴BG＝DH，
由题意得：△PBG的面积＝PAE的面积，
∴BG×＝×1×， 解得：BG＝， ∴DH＝BG＝，
∴H（5，），AG＝AB﹣BG＝∴G（0，
），
，
设直线GH的解析式为y＝ax+c，则，
解得：，
∴直线GH的解析式为y＝﹣x+．
【点评】本题是一次函数综合题目，考查了待定系数法求一次函数的解析式、矩形的性质、面积等分线、全等三角形的判定与性质、梯形的性质、坐标与图形性质、三角形面积等知识；本题综合性强，求出点E、F、G、H的坐标是解决问题（3）的关键．
13．（2017秋•武汉期末）如图，抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3经过点P（4，5），过点P的直线AM：y＝mx+t1（m＜0）与抛物线交于点M，与x轴交于点A，过点P的另一直线BN：y＝nx+t2（n＞0）与抛物线交于点N，与x轴交于点B，已知PA＝PB． （1）直接写出抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3
问题探究：若点M的横坐标为﹣3，则点N的横坐标为 ﹣1 ，若点M的横坐标为﹣4，则点N的横坐标为 0 ；
（2）结论猜想：若点M的横坐标为a，点N的横坐标为b，请根据（1）猜想a，b之间的数量关系为 a+b＝﹣4 ，并给予证明．
（3）综合应用：已知直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+4交于A，B两点，在抛物线上是否存在点P，连接PA，PB分别交y轴，x轴于点D，C，使∠DPB＝2∠PCO，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）把点P（4，5）代入抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3的解析式求出k即可． （2）结论：a+b＝﹣4．由M（a，a2﹣2a﹣3），P（4，5），得到直线PM的解析式为y＝（a+2）x﹣4a﹣3，由PB＝PA，可得直线PB的解析式为y＝﹣（a+2）x+4a+13，由
，解得
由此即可解决问题．
（3）如图2中，延长PA交x轴于M．设P（m，﹣m2+4），由直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+4交于A，B两点，可知A、B两点的横坐标之和为1，设A（a，﹣a2+4），B[1﹣a，﹣（1﹣a）2+4]，由∠DPB＝2∠PCO＝∠PMC+∠PCM，推出∠PMC＝∠PCM，推出PM＝PC，可知kPA+kPC＝0，可得方程方程即可解决问题．
+
＝0，解
或
，点N的横坐标为b＝﹣a﹣4，
【解答】解：（1）∵抛物线y＝kx2﹣2kx﹣3经过点P（4，5）， ∴5＝16k﹣8k﹣3＝0， ∴k＝1，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3． 由题意当M（﹣3，12），P（4，5）， ∴直线PM的解析式为y＝﹣x+9， ∴A（9，0）， ∴PA＝PB， ∴B（﹣1，0），
∴直线PB的解析式为y＝x+1， 由
解得
或
，
∴点N坐标（﹣1，0）．
当M（﹣4，21）时，直线PM的解析式为y＝﹣2x+13， ∴A（6.5，0），∵PA＝PB， ∴B（1.5，0），
∴直线PB的解析式为y＝2x﹣3， 由
解得
或
，
∴点N（0，﹣3）．
故答案分别为y＝x2﹣2x﹣3，﹣1，0．
（2）结论：a+b＝﹣4． 理由：如图1中，
∵M（a，a2﹣2a﹣3），P（4，5），
∴直线PM的解析式为y＝（a+2）x﹣4a﹣3，
∵PB＝PA，可得直线PB的解析式为y＝﹣（a+2）x+4a+13， 由
，解得
或
，
∴点N的横坐标为b＝﹣a﹣4， ∴a+b＝﹣4． 故答案为a+b＝﹣4．
（3）如图2中，延长PA交x轴于M．设P（m，﹣m2+4）
由直线y＝﹣x+n与抛物线y＝﹣x2+4交于A，B两点，可知A、B两点的横坐标之和为1，设A（a，﹣a2+4），B[1﹣a，﹣（1﹣a）2+4]， ∵∠DPB＝2∠PCO＝∠PMC+∠PCM， ∴∠PMC＝∠PCM， ∴PM＝PC， ∴kPA+kPC＝0， ∴
+
＝0，
∴﹣m﹣a﹣1+a﹣m＝0， ∴2m＝﹣1， ∴m＝﹣，
∴点P坐标为（﹣，
）．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、两直线的位置关系与斜率之间的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用参数解决问题，
第三个问题的突破点是kPA+kPC＝0，属于中考压轴题． 14．问题探究：
直线y＝x与直线y＝﹣2x+6交于点A，则A点坐标为 （2，2） ．
P为平面直角坐标系中的一点，以A、B（3，1）、P、O为顶点的四边形是平行四边形，则P点坐标为 （5，3）或（﹣1，1）或（1，﹣1） ． 问题应用：
如图，已知抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）顶点为P，与y轴相交于点B，直线y＝x﹣m分别与x轴、y轴相交于A、C两点，并且与直线PB相交于点N． （1）求PN的解析式；
（2）在抛物线y＝x2﹣2x+m（m＜0）上是否存在点K，使得以K、B、N、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出K点的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】问题探究：解方程组可得点A坐标，根据A、B、O三点坐标，利用平行四边形的性质可得点P坐标．
（1）先求出P、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①当点P在y轴的左侧时，若四边形BCPN是平行四边形，则PN平行且等于BC，②当点P在y轴的右侧时，若四边形BPCN是平行四边形，则BC与
PN互相平分，由直线PN和y＝x﹣a联立方程组，，解得：，即
可求出N的坐标为（a，﹣a），根据平行四边形的性质分别列出方程即可解决问题． 【解答】问题探究： 解：由
解得
，
∴点A坐标（2，2）．
如图1中，
∵A（2，2），B（3，1），O（0，0），以A、B、P、O为顶点的四边形是平行四边形， 由图象可知，点P的坐标为（5，3）或（﹣1，1）或（1，﹣1）． 故答案分别为（2，2）；（5，3）或（﹣1，1）或（1，﹣1）．
（1）解：∵y＝x2﹣2x+m＝（x﹣1）2﹣1+m， ∴顶点P的坐标为；（1，m﹣1），
由于抛物线过B点，因此B的坐标是（0，m）． 设直线PN的解析式为y＝kx+b， 则解得：
， ，
则直线BN的解析式为：y＝﹣x+m．
（2）存在，理由如下：
直线PN和y＝x﹣a联立方程组，
，
解得：，
即可求出N的坐标为（a，﹣a），
当点P在y轴的左侧时，若四边形BCPN是平行四边形，则PN平行且等于BC， 由B（0，m），C（0，﹣m），得AC＝﹣2m， 则把N向上平移﹣2m个单位得到P，坐标为（ 得：﹣m＝
m2﹣m+m，
m，﹣m），代入抛物线的解析式，
解得m1＝0（不舍题意，舍去），m2＝﹣， 则P（﹣，）；
当点P在y轴的右侧时，若四边形BPCN是平行四边形，则BC与PN互相平分， 由B（0，m），C（0，﹣m），则OB＝OC，OP＝ON． 则P与N关于原点对称， 则P（﹣m，m）；
将P点坐标代入抛物线解析式得：m＝解得m1＝0（不合题意，舍去），m2＝﹣则P（
，﹣）．
，﹣），能使得以P，A，C，N为顶点的四m2+m+m， ，
故存在这样的点P1（﹣，）或P2（ 边形是平行四边形．
【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2016秋•碑林区校级期末）（1）问题发现：如图（1），小明在同一个平面直角坐标系中作出了两个一次函数y＝x+1和y＝x﹣1的图象，经测量发现：∠1 ＝ ∠2（填数量
关系）则l1 ∥ l2（填位置关系），从而二元一次方程组无解．
（2）问题探究：小明发现对于一次函数y＝k1x+b1与y＝k2x+b2（b1≠b2），设它们的图象分别是l1和l2（如备用图1）
①如果k1 ＝ k2（填数量关系），那么l1 ∥ l2（填位置关系）；
②反过来，将①中命题的结论作为条件，条件作为结论，所得命题可表述为 如果l1∥l2，那么k1＝k2， ，请判断此命题的真假或举出反例； （3）问题解决：若关于x，y的二元一次方程组
（各项系数均不为0）
无解，那么各项系数a1、b1、c1、a2、b2、c2应满足什么样的数量关系？请写出你的结论．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）分别证明△AOB和△COD是等腰直角三角形，则∠1＝∠2＝45°，所以l1∥l2；
（2）①证明△AOP≌△BFQ，即可得出结论； ②同理证明△AOP≌△BFQ，即可得出结论；
（3）根据方程组表示出直线的解析式，根据方程组无解，可知两直线平行，则根据当b1≠b2，k1＝k2，列式可得结论．
【解答】解：（1）如图（1），y＝x+1中， 当x＝0时，y＝1， 当y＝0时，x＝﹣1， ∴A（0，1），B（﹣1，0）， ∴OA＝OB＝1， ∵∠AOB＝90°， ∴∠1＝45°，
同理求得∠2＝45°， ∴∠1＝∠2， ∴l1∥l2，
故答案为：＝，∥；
（2）①当k1＝k2时，如备用图1，
过P作PQ∥x轴，交l2于Q，过Q作QF⊥x轴于F， ∴OP＝QF，
当y＝0时，k1x+b1＝0，x＝﹣
，
∴OA＝，
当x＝0时，y＝b1， ∴P（0，b1）， ∵PQ∥x轴，
∴点P与点Q的纵坐标相等， 当y＝b1时，b1＝k2x+b2，x＝
，
∴OF＝，
在y＝k2x+b2中，当y＝0时，0＝k2x+b2，x＝﹣，
∴OB＝﹣，
∴BF＝﹣（﹣）＝，
∵k1＝k2， ∴OA＝BF，
∵∠AOP＝∠BFQ＝90°， ∴△AOP≌△BFQ， ∴∠1＝∠2，
∴l1∥l2；
则当k1＝k2时，l1∥l2； ∴故答案为：＝，∥；
②将①中命题的结论作为条件，条件作为结论，所得命题可表述为： 如果l1∥l2，那么k1＝k2，此命题为真命题； 理由是：∵l1∥l2， ∴∠1＝∠2，
∵∠AOP＝∠BFQ＝90°，OP＝FQ， ∴△AOP≌△BFQ， ∴OA＝BF， 同理可得：OA＝
，BF＝
﹣（﹣
）＝
，
∴＝，
∵b1≠b2， ∴k1＝k2；
③由a1x+b1y＝c1得：y＝﹣
，
由a2x+b2y＝c2得：y＝﹣，
∵方程组无解，
∴直线y＝﹣和直线y＝﹣平行，
∴，
则．
【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：一次函数与二元一次方程组的关系，两直线平行时比例系数满足的关系，坐标与图形性质，考查了阅读理解的能力，熟练掌握求一次函数与两坐标轴的交点是解本题的关键． 16．（2018•陕西模拟）（1）问题提出
如图①，等边△ABC的边长为8，求等边△ABC的高． （2）问题探究
如图②，在△ABC中，AB＝AC≠BC，点P为射线BC上的任一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，过点C作CF⊥AB，垂足为F．补全图形，判断线段PD，PE，CF的数量关系，并说明理由． （3）问题解决
如图③，在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（2）中的结论求出点M的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】（1）利用等边三角形的性质和勾股定理即可得出结论； （2）①利用面积法可以证明结论；
②连接AP，同理利用△ABP与△ACP面积之差等于△ABC的面积可以证得结论； （3）分M在线段BC上和M在线段BC外两种情况，再分别根据图②和③的结论，求得M到AC的距离，即M点的纵坐标，再代入l2的解析式可求出M的坐标． 【解答】解：（1）如图①， 过点A作AG⊥BC于G， ∵△ABC是等边三角形， ∴BG＝BC＝4， 在Rt△ABG中，AB＝8， ∴AG＝
＝4
，
即：等边△ABC的高为4
；
（2）①当点P在边BC上时，PD+PE＝CF， 理由：如图②，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP＝AB•PD，S△ACP＝AC•PE，S△ABC＝AB•CF， ∵S△ABP+S△ACP＝S△ABC，
∴AB•PD+AC•PE＝AB•CF， 又AB＝AC， ∴PD+PE＝CF；
②当点P在BC的延长线上时，PD﹣PE＝CF 理由：如图③，连接AP， ∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP＝AB•PD，S△ACP＝AC•PE，S△ABC＝AB•CF， ∵S△ABP﹣S△ACP＝S△ABC，
∴AB•PD﹣AC•PE＝AB•CF， 又∵AB＝AC， ∴PD﹣PE＝CF；
（3）如图④，由题意可求得A（﹣4，0），B（0，3），C（1，0）， ∴AB＝5，AC＝5，BC＝
，OB＝3，
当M在线段BC上时，过M分别作MP⊥x轴，MQ⊥AB，垂足分别为P、Q， ∵l2上的一点M到l1的距离是1 ∴MQ＝1，
由图②的结论得：MP+MQ＝3， ∴MP＝2，
∴M点的纵坐标为2，
又∵M在直线y＝﹣3x+3， ∴当y＝2时，x＝， ∴M坐标为（，2）；
同理，由前面结论和方法可知，当M点在线段BC外时，有|MP﹣MQ|＝OB， 可求得MP＝4或MP＝﹣2，即M点的纵坐标为4或﹣2，
分别代入y＝﹣3x+3，可求得x＝﹣或x＝（舍，因为它到l1的距离不是1）， ∴M点的坐标为（﹣，4）；
综上可知，M点的坐标为（，2）或（﹣，4）．
【点评】本题主要考查一次函数的综合运用，涉及等腰三角形的性质、三角形的面积、勾股定理和等积法等知识，考查了用面积法证明几何问题，体现了自主探究与合作交流的新理念，是充分体现新课程理念难得的好题．
17．（2021秋•雁塔区校级期末）预备知识：（1）在一节数学课上，老师提出了这样一个问题：随着变量t的变化，动点P（3t，2﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是什么？ 一番深思熟虑后，聪明的小明说：“是一条直线”，老师问：“你能求出这条直线的函数表达式吗？”
小明的思路如下：设这条直线的函数表达式为y＝kx+b（k≠0），将点P（3t，2﹣t）代入得：2﹣t＝k•3t+b，整理得（3k+1）t+b﹣2＝0． ∵t为任意实数，等式恒成立； ∴3k+1＝0，b﹣2＝0． ∴k＝﹣，b＝2．
∴这条直线的函数表达式为y＝﹣x+2．
请仿照小明的做法，完成问题：随着变量t的变化，动点P（2t，3﹣t）在平面直角坐标系中的运动轨迹是直线l，求直线l的函数表达式．
问题探究：（2）如图1，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（5，9），且∠BAC＝90°，AB＝AC，则点C的坐标为 （﹣7，3） ．
结论应用：（3）如图2，在平面直角坐标系中，已知点P（1，0），Q是直线y＝﹣x+2上的一个动点，连接PQ，过点P作PQ′⊥PQ，且PQ′＝PQ，连接OQ′，求线段OQ′的最小值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】一次函数及其应用；图形的全等；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．
【分析】（1）仿照给出例题的步骤进行求解即可；
（2）作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E，证明△ACD≌△BAE，进而求得结果； （3）作CP⊥OA，截取CP＝AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E，△APQ≌△CPQ′，从而∠PCQ′＝∠BAO，从而确定点Q′在定直线上运动，进而Rt△PCD和Rt△ODE，进一步求得结果．
【解答】解：（1）设直线的函数表达式是：y＝kx+b， 将x＝2t，y＝3﹣t代入得， 3﹣t＝k•2t+b，
∴（2k+1）•t+（b﹣3）＝0， ∵t任何实数，等式恒成立， ∴2k+1＝0，b﹣3＝0， ∴k＝﹣，b＝3，
∴直线的函数关系式是：y＝﹣（2）如图1，
+3；
作CD⊥x轴于D，作BE⊥x轴于E， ∴∠ADC＝∠AEB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°， ∵∠CAB＝90°， ∴∠CAD+∠BAE＝90°， ∴∠ACD＝∠BAE， 在△ACD和△BAE中，
，
∴△ACD≌△BAE（AAS）， ∴AD＝BE，CD＝AE， ∵A（2，0），B（5，9）， ∴AE＝3，BE＝9， ∴AD＝9，CD＝3， ∴OD＝AD﹣OA＝9﹣2＝7， ∴C（﹣7，3）； 故答案是（﹣7，3）． （3）如图2，
作CP⊥OA，截取CP＝AP，连接CQ′，直线CQ′交OA于D，作OE⊥CD于E， ∴∠APC＝∠QPQ′＝90°，
∴∠APC﹣∠APQ′＝∠QPQ′﹣∠APQ′， 即：∠APQ＝∠CPQ′， 在△APQ和△CPQ′中，
，
∴△APQ≌△CPQ′（SAS）， ∴∠PCQ′＝∠BAO，
由题意得：A（4，0），B（0，2）， ∴OA＝4，OB＝2， ∴tan∠BAO＝
＝，
∴tan∠PCQ′＝，
∴点Q′在定直线CH上运动， 在Rt△PCD中，CP＝AP＝3，tan∴PD＝3×＝， ∴OD＝OP+PD＝，
∵∠PCD+∠CPD＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，∠PCD＝∠BAO， ∴∠PCD＝∠ABO， 在Rt△AOB中，
，
AB＝∴sin∠ABO＝
＝＝
＝
＝2， ，
，
在△ODE中，OD＝，sin∠ODE＝sin∠ABO＝∴OE＝×
＝
， ．
∴OQ′的最小值是
【点评】本题考查了求一次函数的解析式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．
18．（2022春•亭湖区校级月考）我们定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”． 【概念理解】
（1）如图1，在7×7的方格纸中，线段AB的端点都在格点上，请在所给的方格图中画出△ABC，使ABC为“等高底”三角形，且点C在格点上（画出一个即可）：
（2）如图2，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，∠ACB＝30°，试判断△ABC是否是”等高底”三角形，请说明理由． 【问题探究】
如图3，△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”，作△ABC关于BC所在直线的对称图形得到△EBC，连接AE交直线BC于点D．若点B是△AEC的重心，求【应用拓展】
如图4，△OAB中，点B的坐标为（0，2），点A在射线y＝x（x≥0）上，若△OAB是“等高底”三角形，求点A的坐标．
的值．
【考点】一次函数综合题．
【专题】新定义；一次函数及其应用；图形的全等；等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【分析】【概念理解】（1）AB是3×2的矩形中，B可以是2×3的矩形的顶点； （2）作AD⊥CB于D，可得AD＝
＝BC，从而得出判断；
【问题探究】设BD＝x，可表示出BC，AD及AC，进而求得比值；
【应用拓展】分为OB，AB及OA分别为“等底”，当OB是“等底”时，可得A点横坐标，进而求得A点坐标，当AB及OA是“等底”时，设点A（2a，a），根据面积法可求得结果．
【解答】【概念理解】解：（1）如图1，
由网格特点可知：CD＝BE，∠D＝∠E＝90°，BD＝AE， ∴△BCD≌△ABE（SAS）， ∴BC＝AB，∠C＝∠ABE， ∵∠C+∠CBD＝90°， ∴∠ABE+∠CBD＝90°， ∴∠ABC＝90°， 即AB⊥BC， 故点C满足条件； （2）如图2，
△ABC是“等高底”三角形，理由如下： 作AD⊥CB于D，交CB的延长线于D，
∵∠C＝30°， ∴AD＝∴AD＝BC＝4，
∴△ABC是“等高底”三角形； 【问题探究】 解：设BD＝x，
∵点B是△ACE的重心， ∴BC＝2BD＝2x，
∵△ABC是“等高底”三角形，BC是“等底”， ∴AD＝BC＝2x， ∴CD＝BC+BD＝3x， ∵点A和点E关于CD对称， ∴∠ADC＝∠EDC＝90°， ∴AC＝∴
＝
＝
＝；
＝
x，
，
【应用拓展】解：如图2，
当OB是“等底”时，作AD⊥OB于D， ∴AD＝OB，
∴点A的横坐标是2， ∴y＝
＝1，
∴A（2，1）， 如图3，
当AB是“等底”时， ∴AB＝OE， 设A（2a，a）， ∴S△AOB＝
＝
，
∴AB•AB＝OB•AD， ∴AB2＝2AD，
∵AD＝2a，AB2＝（2a）2+（a﹣2）2＝5a2﹣4a+4， ∴5a2﹣4a+4＝4a， ∵方程无解， ∴AB不能是“等底”， 如图4，
当OA是“等底”时，BF＝OA， 设点A（2a，a）， 由S△AOB＝5a2＝4a， ∴a＝， ∴A（，），
＝×2•2a得，
综上所述，A（2，1）或（，）．
【点评】本题是新定义阅读，考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象和点的坐标关系，勾股定理，直角三角形性质等知识，解决问题的关键是正确分类及使用面积法．
19．（2020•玉田县一模）问题探究．
如图，在平面直角坐标系中，A（0，8），C（6，0），以O，A，C为顶点作矩形OABC，动点P从点A出发，沿AO以4个单位每秒的速度向O运动；同时动点Q从点O出发沿OC以3个单位每秒的速度向C运动．设运动时间为t，当动点P，Q中的任何一个点到达终点后，两点同时停止运动．连接PQ． 【情景导入】当t＝1时，求出直线PQ的解析式．
【深入探究】①连接AC，若△POQ与△AOC相似，求出t的值．
②如图，取PQ的中点M，以QM为半径向右侧作半圆M，直接写出半圆M的面积的最小值，并直接写出此时t的值．
【拓展延伸】如图，过点A作半圆M的切线，交直线BC于点H，于半圆M切于点N． ①在P，Q的整个运动过程中，点H的运动路径为
．
②若固定点H（6，2）不动，则在整个运动过程中，半圆M能否与梯形AOCH相切？若能，求出此时t的值；若不能，请证明．
【考点】一次函数综合题．
【专题】分类讨论；数据分析观念；创新意识．
【分析】【情景导入】当t＝1时，点P、Q的坐标分别为：（0，4）、（3，0），将点P、Q
的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
【深入探究】①如下图，tan∠ACO＝，△POQ与△AOC相似，则tan∠PQO＝或，即可求解； ②S＝π×（PM）2＝
×[（
）2+（4﹣2t）2]＝
（
﹣16t+16），即可求解；
＝
【拓展延伸】①当t＝0时，点H与点B重合；当t＝2时，运动结束，设直线AH与半圆切于点N，则HQ＝NH，则AN＝AO＝8，设HQ＝NH＝a，则BH＝8﹣a，AH＝8+a，在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2+BH2，即（8+a）2＝62+（8﹣a）2，即可求解； ②（Ⅰ）当t＝0时，点P、Q分别与点A、O重合，则半圆M于CO相切； （Ⅱ）当t＝2时，由①知，半圆M与BC相切； （Ⅲ）当半圆M与直线AH相切时，则PM＝MN，即（
2
）2+（4﹣2t）2＝（x﹣
）
+（x﹣2t﹣4）2，即可求解．
【解答】解：【情景导入】当t＝1时，点P、Q的坐标分别为：（0，4）、（3，0）， 将点P、Q的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：
，解得：
，
故直线PQ的表达式为：y＝﹣x+4；
【深入探究】点P、Q、M的坐标分别为：（0，8﹣4t）、（3t，0）、（①如下图，tan∠ACO＝，
，4﹣2t），
△POQ与△AOC相似， 则tan∠PQO＝解得：t＝1或
；
×[（
）2+（4﹣2t）2]＝
（
﹣16t+16），
＝或，
②S＝π×（PM）2＝
∵＞0，
，此时t＝
；
故S有最小值为
【拓展延伸】①当t＝0时，点H与点B重合； 当t＝2时，运动结束，点H的位置如下图所示，
设直线AH与半圆切于点N，则HQ＝NH，则AN＝AO＝8， 设HQ＝NH＝a，则BH＝8﹣a，AH＝8+a， 在△ABH中，由勾股定理得：AH2＝AB2+BH2， 即（8+a）2＝62+（8﹣a）2，解得：a＝＝HQ， 则点H运动的路径为BH＝8﹣＝故答案为：
②（Ⅰ）当t＝0时，点P、Q分别与点A、O重合， 则半圆M于CO相切； （Ⅱ）当t＝2时，由①知， 半圆M与BC相切；
（Ⅲ）当半圆M与直线AH相切时，如下图，设切点为N，
；
，
由点A、H的坐标得，直线AH的表达式为：y＝﹣x+8，
设点N（x，8﹣x），而点P、Q、M的坐标分别为：（0，8﹣4t）、（3t，0）、（则PM＝MN，即（
）2+（4﹣2t）2＝（x﹣
）2+（x﹣2t﹣4）2，
，4﹣2t），
整理得：2x2﹣（7t+8）x+32t＝0， 由题意得：△＝（7t+8）2﹣8×32t＝0， 即49t2﹣144t+64＝0， 解得：t＝
（不合题意的值已舍去）；
．
综上，t＝0或t＝2或t＝
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、矩形的性质、圆的切线性质等，要注意分类求解，避免遗漏． 20．（2020•陕西一模）问题探究
（1）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，请你过点A作一条直线AD，其中点D为BC上一点，使直线AD平分△ABC的面积；
（2）如图②，点P为▱ABCD外一点，AB＝6，BC＝12，∠B＝45°，请过点P作一条直线l，使其平分▱ABCD的面积，并求出▱ABCD的面积； 问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，四边形OABC是李爷爷家一块土地的示意图，其中OA∥BC，点P处有一个休息站点（占地面积忽略不计），李爷爷打算过点P修一条笔直的小路l（路的宽度不计），使直线l将四边形OABC分成面积相等的两部分，分别用来种植不同的农作物．已知点A（8，8）、B（6，12）、P（3，6）．你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由．
【考点】一次函数综合题．
【专题】压轴题；应用意识．
【分析】（1）点D为BC的中点时，直线AD则平分△ABC的面积；
（2）连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作
直线OP，直线OP即为所求，作高线AE，根据等腰直角三角形的性质求AE的长，根据平行四边形的面积公式可得结论；
（3）过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于E，连接OB，则E（6，6）．先证明四边形OEBC是平行四边形，则过点P的直线平分平行四边形OEBC，然后过点P的直线只要平分△BEA的面积即可，然后求得直线AB、PA的解析式，接下来，再求得直线PF的解析式为y＝kx+6﹣3k，然后再求得点G、F、E的坐标，最后，依据△BGF的面积等于△ABE的面积的一半列出关于k的方程求解即可．
【解答】解：（1）如图1，点D为BC的中点，作直线AD，直线AD则平分△ABC的面积；
（2）如图2，连接AC、BD，AC与BD交于点O，则点O为平行四边形ABCD的对称中心，作直线OP，直线OP即为所求；
如图3，过A作AE⊥BC于E，
∵∠ABC＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AE＝
＝
＝3
，
∵BC＝12，
∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝12×3
（3）∵A（8，8），
∴直线OA的解析式为：y＝x，
＝36；
过点B作BD⊥x轴于点D，交AO于E，连接OB，则E（6，6），
∵B（6，12），点P（3，6）， ∴点P为线段OB的中点． ∵OA∥BC，BE∥OC， ∴四边形OEBC是平行四边形．
∴点P是平行四边形OEBC的对称中心， ∴过点P的直线平分平行四边形OEBC． ∴过点P的直线PF只要平分△BEA的面积即可． 设直线PF的表达式为y＝kx+b，且过点P（3，6）， ∴3k+b＝6，即b＝6﹣3k， ∴y＝kx+6﹣3k．
设直线AB的表达式为y＝mx+n，且过点B（6，12），A（8，8）， 则
，解得：
，
∴直线AB的函数表达式为y＝﹣2x+24． ∴
∴F的横坐标为
，解得：x＝
，
，
把x＝6代入y＝kx+6﹣3k得y＝3k+6， ∴G（6，3k+6）
同理得直线AP的解析式为y＝x+∴
＜3k+6＜12，解得＜k＜2，
，当x＝6时，y＝，
∵S△BFG＝BG•（Fx﹣6）＝（12﹣3k﹣6）（解得k＝或k＝4（舍去）， ∴直线l的表达式为y＝x+4．
﹣6）＝（8﹣6）（12﹣6），
【点评】本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了平行四边形的性质和判定、方程组与一次函数交点之间的关系，列出关于k的方程是解题的关键．
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