新北师大版数学必修一期末测试卷

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2016·四川理，1)设集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（ )

A．3 C．5

B．4 D．6

2．已知集合A＝{x|0B．(0,2] D．(1,2]

3．(2015·广东高考)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A．y＝x＋ex 1C．y＝2x＋2x

1

B．y＝x＋x D．y＝1＋x2

|x－1|－2，|x|≤11

4．设f(x)＝1，则f[f(2)]＝( )

，|x|>11＋x21

A.2 9C．－5

4B.13 25D.41

3

5．log43、log34、log4 4的大小顺序是( )

3

3

A．log343

3

B．log34>log43>log4 4

3

3

C．log34>log4 4>log43

3

3

D．log4 4>log34>log43

3

6．函数f(x)＝ax2－2ax＋2＋b(a≠0)在闭区间[2,3]上有最大值5，最小值2，则a，b的值为( )

A．a＝1，b＝0

B．a＝1，b＝0或a＝－1，b＝3 C．a＝－1，b＝3 D．以上答案均不正确

7．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a，则a的值为

( )

1A.4 C．2

1B.2 D．4

ax＋b

8．(2015·安徽高考)函数f(x)＝的图像如图所示，则下列结论成立的是

?x＋c?2

( )

A．a>0，b>0，c<0

B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0 D．a<0，b<0，c<0

9．(2016·山东理，9)已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，111

f(－x)＝－f(x)；当x＞2时，f(x＋2)＝f(x－2)．则f(6)＝( )

A．－2 C．0

B．－1 D．2

10．函数f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点的个数为( ) A．0 C．2

B．1 D．3

11．设0( )

A．(－∞，0) C．(－∞，loga3)

B．(0，＋∞) D．(loga3，＋∞)

12．有浓度为90%的溶液100g，从中倒出10g后再倒入10g水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)

( )

A．19 C．21

B．20 D．22

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 12＋－1

13．已知loga2>0，若ax2x4≤a，则实数x的取值范围为________． 14．直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围________ .

m·3x1－1

15．若函数y＝的定义域为R，则实数m的取值范围是________． －

m·3x1＋1

2x＋a， x<1

16．已知实数a≠0，函数f(x)＝，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为

－x－2a， x≥1

－

________．

三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分10分)设A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}． (1)若A∩B＝B，求a的值． (2)若A∪B＝B，求a的值．

1

18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log1 [(2)x－1]，(1)求f(x)的定义域；

2

(2)讨论函数f(x)的增减性．

ax－1

19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝，其中a∈R.

x＋1

(1)若a＝1，f(x)的定义域为区间[0,3]，求f(x)的最大值和最小值；

(2)若f(x)的定义域为区间(0，＋∞)，求a的取值范围，使f(x)在定义域内是单调减函数． 20.(本小题满分12分)(1)定义在(－1,1)上的奇函数f(x)为减函数，且f(1－a)＋f(1－a2)>0，求实数a的取值范围．

(2)定义在[－2,2]上的偶函数g(x)，当x≥0时，g(x)为减函数，若g(1－m)21．(本小题满分12分)已知函数y＝f(x)的定义域为D，且f(x)同时满足以下条件： ①f(x)在D上单调递增或单调递减函数；

②存在闭区间[a，b]∈D(其中a(1)判断f(x)＝－x3是不是闭函数？若是，找出条件②中的区间；若不是，说明理由．

(2)若f(x)＝k＋x＋2是闭函数，求实数k的取值范围．

(注：本题求解中涉及的函数单调性不用证明，直接指出增函数还是减函数即可) 22.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝log1 (x2－mx－m.

2

(1)若m＝1，求函数f(x)的定义域；

(2)若函数f(x)的值域为R，求实数m的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间(－∞，1－3)上是增函数，求实数m的取值范围． 一．选择题

1.[答案] C

[解析] 由题可知，A∩Z＝{－2，－1,0,1,2}，则A∩Z中元素的个数为5.故选C. 2.[答案] D

[解析] 因为A＝{x|0所以A∩B＝{x|1[解析] 令f(x)＝x＋ex，则f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e

－1

即f(－1)≠f(1)，f(－1)≠－f(1)，

所以 y＝x＋ex既不是奇函数也不是偶函数，而BCD依次是偶函数、奇函数、偶函数，故选A. 4.[答案] B

111333

[解析] 由于|2|<1，所以f(2)＝|2－1|－2＝－2，而|－2|>1，所以f(－2)＝1414＝，所以f[f()]＝1313213，选B. 4

5.[答案] B

[解析] 将各式与0,1比较．∵log34>log33＝1，

32＝1＋?－2?1

34

log431， 3

∴log4 4<0.

3

6.[答案] B

[解析] 对称轴x＝1，当a>0时在[2,3]上递增，

f?2?＝2，a＝1，则解得 f?3?＝5，b＝0.

当a<0时，在[2,3]上递减，

f?2?＝5，a＝－1，则解得 f?3?＝2，b＝3.

故选B.

3

有log4 43

7.[答案] B

[解析] ∵当a>1或01

即1＋loga1＋a＋loga(1＋1)＝a，∴a＝2. 8.[答案] C

ax＋bb

及图像可知，x≠－c，－c>0，则c<0；当x＝0时，f(0)＝c2>0，?x＋c?2

[解析] 由f(x)＝

b

所以b>0；当y＝0，ax＋b＝0，所以x＝－a>0，所以a<0.故a<0，b>0，c<0，选C. 9.[答案] D

11

[解析] ∵当x>2时，f(x＋2)＝f(x－2)，

∴f(x＋1)＝f(x)，

∴f(6)＝f(5)＝f(4)＝…＝f(1)， 又当－1≤x≤1时，f(x)＝－f(－x)．

∴f(1)＝－f(－1)，又因为当x<0时，f(x)＝x3－1， ∴f(1)＝－f(－1)＝－[(－1)3－1]＝2. 10.[答案] D

[解析] f(x)＝(x－1)ln|x|－1的零点就是方程(x－1)ln|x|－1＝0的实数根，而该方程等11

价于方程ln|x|＝，因此函数的零点也就是函数g(x)＝ln|x|的图像与h(x)＝的图

x－1x－1像的交点的横坐标．在同一平面直角坐标系内分别画出两个函数的图像(图略)，可知两个函数图像有三个交点，所以函数有三个零点． 11.[答案] C

[解析] 利用指数、对数函数性质．考查简单的指数、对数不等式． 由a2x－2ax－2>1得ax>3，∴x－1－19＋9＋

[解析] 操作次数为n时的浓度为(10)n1，由(10)n1<10%，得n＋1>9＝≈21.8，

2lg3－1lg10∴n≥21. 二.填空题

13.[答案] (－∞，－3]∪[1，＋∞) 1

[解析] 由loga2>0得02＋2x－4

12＋－－

≤a得a x2x4≤a1，

∴x2＋2x－4≥－1，解得x≤－3或x≥1. 5

14.[答案] 1[解析] y＝2

x＋x＋a，x<0

作出图像，如图所示．

11

此曲线与y轴交于(0，a)点，最小值为a－4，要使y＝1与其有四个交点，只需a－4<115.[答案] [0，＋∞)

m·3x1－1

[解析] 要使函数y＝的定义域为R， －

m·3x1＋1则对于任意实数x，都有m·3x1＋1≠0，

－

－

1－1－

即m≠－3x1.而3x1>0，∴m≥0.



故所求m的取值范围是m≥0，即m∈[0，＋∞)． 3

16.[答案] －4 [解析] 首先讨论1－a,1＋a与1的关系． 当a<0时，1－a>1,1＋a<1，

所以f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a； f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.

因为f(1－a)＝f(1＋a)，所以－1－a＝3a＋2. 3

解得a＝－4.

当a>0时，1－a<1,1＋a>1，

所以f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a. f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－3a－1， 因为f(1－a)＝f(1＋a)

3

所以2－a＝－3a－1，所以a＝－2(舍去) 3

综上，满足条件的a＝－4. 三、解答题

17.[分析] A∩B＝B?B?A，A∪B＝B?A?B. [解析] A＝{－4,0}． (1)∵A∩B＝B，∴B?A.

①若0∈B，则a2－1＝0，a＝±1. 当a＝1时，B＝A；

当a＝－1时，B＝{0}，则B?A.

②若－4∈B，则a2－8a＋7＝0，解得a＝7，或a＝1. 当a＝7时，B＝{－12，－4}，B?A.

③若B＝?，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，a<－1. 由①②③得a＝1，或a≤－1. (2)∵A∪B＝B，∴A?B.

∵A＝{－4,0}，又∵B中至多只有两个元素， ∴A＝B. 由(1)知a＝1.

1

18.[解析] (1)(2)x－1>0，即x<0， 所以函数f(x)定义域为{x|x<0}．

1

(2)∵y＝(2)x－1是减函数，f(x)＝log1 x是减函数，

2

1

∴f(x)＝log1 [(2)x－1]在(－∞，0)上是增函数．

2

ax－1a?x＋1?－a－1a＋1

19.[解析] f(x)＝＝＝a－，

x＋1x＋1x＋1a＋1a＋1?a＋1??x1－x2?

设x1，x2∈R，则f(x1)－f(x2)＝－＝.

x2＋1x1＋1?x1＋1??x2＋1?2

(1)当a＝1时，f(x)＝1－，设0≤x1x＋12?x1－x2?

则f(x1)－f(x2)＝，

?x1＋1??x2＋1?又x1－x2<0，x1＋1>0，x2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)∴f(x)max＝f(3)＝1－4＝2， 2

f(x)min＝f(0)＝1－1＝－1.

(2)设x1>x2>0，则x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0. 若使f(x)在(0，＋∞)上是减函数，只要f(x1)－f(x2)<0， ?a＋1??x1－x2?

而f(x1)－f(x2)＝，

?x1＋1??x2＋1?

∴当a＋1<0，即a<－1时，有f(x1)－f(x2)<0， ∴f(x1)∴当a<－1时，f(x)在定义域(0，＋∞)内是单调减函数． 20.[解析] (1)∵f(1－a)＋f(1－a2)>0， ∴f(1－a)>－f(1－a2)．

∵f(x)是奇函数， ∴f(1－a)>f(a2－1)．

又∵f(x)在(－1,1)上为减函数， 1－a∴－1<1－a<1，解得1|m|≤2， |1－m|>|m|，

－1≤m≤3，

即－2≤m≤2， ?1－m?2>m2，1解之得－1≤m<2.

21.[解析] (1)f(x)＝－x3在R上是减函数，满足①；设存在区间[a，b]，f(x)的取值集合

3－a＝b

也是[a，b]，则，解得a＝－1，b＝1，

－b3＝a

所以存在区间[－1,1]满足②， 所以f(x)＝－x3(x∈R)是闭函数．

(2)f(x)＝k＋x＋2是在[－2，＋∞)上的增函数，

由题意知，f(x)＝k＋x＋2是闭函数，存在区间[a，b]满足②，

k＋a＋2＝a即 k＋b＋2＝b

即a，b是方程k＋x＋2＝x的两根，化简得，a，b是方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0的两根，且a≥k，b>k.

f?k?≥0

Δ>0

令f(x)＝x－(2k＋1)x＋k－2，得2k＋1

2>k

2

2

9

解得－49

所以实数k的取值范围为(－4，－2]． 22.[解析] (1)m＝1时，f(x)＝log1 (x2－x－1)，

2

1＋51－5

由x2－x－1>0可得：x>2或x<2，

1＋51－5

∴函数f(x)的定义域为(2，＋∞)∪(－∞，2)．

(2)由于函数f(x)的值域为R，所以z(x)＝x2－mx－m能取遍所有的正数从而Δ＝m2＋4m≥0，解得：m≥0或m≤－4.

即所求实数m的取值范围为m≥0或m≤－4. (3)由题意可知：

m2≥1－3?2－23≤m<2. ?1－3?2－m?1－3?－m>0

即所求实数m的取值范围为[2－23，2)．