卅多滋芗水 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｃｈｉｚｈｏｕ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ２０１５年６Ｙｌ第２９卷第３期 Ｊｕｎ．２０１５ Ｖｏ１．２９ Ｎｏ．３ ＤＯＩ：１０．１ ３４２０／Ｊ．ｃｎ ｋ１．Ｊ ＣＺＵ．２０１ ５．０３．０１２ 方向导数与三个常用概念关系的研究 张千祥 ，陈佩树 ，李海燕。 （１．巢湖学院数学系，安徽巢湖２３８０００；２．池州学院数学与计算机科学系，安徽池州２４７０００） ［摘要１方向导数是多元函数微分学中的一个重要概念。首先分析和比较了方向导数定义在不同版本教材中的差异性及相互关系：其次结 合实例分析了方向导数与偏导数及全微分之间的关系；最后研究了方向导数与梯度之间的关系，并用实例探讨了最大方向导数的求法。 ［关键词】方向导数；偏导数：全微分；梯度 【中图分类号】Ｏ１７２ ｆ文献标识码］Ａ 【文章编号】１６７４—１１０２（２Ｏ１ ５）０３—００４０—０２ 我们不仅关心函数沿坐标轴方向上的变化率 （即偏导数），而且有时还要设法求得函数沿着某个 特定方向的变化率，为此引人方向导数的概念。但 是由于方向导数的定义比较抽象，且在不同版本的 教材和参考资料中所给出的形式和描述方式有较 当ｎ：２时，上述定义１就退化为［１仲的定义； 当ｎ＝３，定义１简化为［２】中的定义。由于在不同版 本教材里ｆ比如在教材［３】和『４１中）关于方向导数的 定义和上述定义１差距非常大，甚至使得后面所讨 论的方向导数的相关性质都有一定的偏差 。为 此，我们将按照定义１研究方向导数与偏导数、全 微分以及梯度之间的关系。 大的差异，很容易导致初学者对方向导数及其相关 性质产生误解和困惑，很有必要对此进行深入分 析。下面首先分析方向导数定义在不同版本教材 中的差异性。 ２方向导数与偏导数、全微分的关系 定理ｌ：多元函数ｌ厂莅 Ｐ。 。。， ：０，…， ｏ）的某个 邻域 ）ＣＲ 内有定义，且在 Ｐ。处可微，则在该点 处任意方向上的方向导数都存在，但反之不成立。 证明：设向量２为从Ｐ 出发的射线，为ｆ上且 含于Ｕ（Ｐ。）内的任一点，并以Ｐ表示Ｐ与Ｐ。两点 间的距离，由假设知多元函数厂（尸）在点Ｐ 处可 微，从而有： －厂（Ｐ）－ｆ 。） ．（Ｐ０） ＋ｆｘ，（Ｐｏ） ２＋…＋ （Ｐ０） ＋ｏ ）， ．１ 方向导数在不同版本教材中的定义 就二元函数而言，在同济大学《高等数学》中有 函数ｆ（ｘ，ｙ）在点 。，Ｙ。）的某邻域内沿指定方向ｆ的 方向导数定义 。如果ｆ（ｘ，ｙ１表示的曲面是平滑 的，则利用该定义可以得到函数沿着指定方向的变 化率。在华东师范大学《数学分析》中又把上述定 义推广到三元函数ｆ（ｘ，Ｙ， 在点（Ｘｏ，ｙ。，ｚ。）的某邻域 内沿向量２的方向导数 。下面我们进一步地把上 述方向导数的定义推广到ｎ维空间。 定义１：设多元函数厂在点Ｐ。（ 。， 。，…， 。）的 ．也即有ｌｉｍ—ｆ（Ｐ）－ｆ（Ｐｏ）存在—，按照定义２，即证明 了方向导数存在，且 Ｐ）－ｆ（Ｐｏ） ｝：ｌｉｍｆ（某个邻域Ｕ（Ｐｏ）ｃ Ｒ 内有定义，向量２为从Ｐ 出发 的射线，Ｐ（ｘ ， ，…， ）为ｆ上且含于ｆ／（Ｐ ）内的任 一Ｏ１ ＩＰｏ １１１———ｐ。 Ｐ 点，并以Ｐ表示Ｐ与Ｐ 两点间的距离，若极限 例ｈ设有二元函数 ｆ ＋Ｙ， ≥０，Ｙ≥０； ， ｌｉ—ｆ（Ｐ）－ｆ（Ｐｏ）ｌｌｍ ——～： ｌｌ＝・ｍ ———— ｐ ０ Ｐ ０ Ｐ 存在，则称此极限为函数，在点Ｐ。沿方向１的方 数，记作： ｏｆ 收稿日期：２０１４—１卜（）４ ／（ ， ）＝ｌ－一 Ｘ＋ｙ＋ｙ），吕 吕 ≥０，Ｙ≤０． ０）． ｌ —Ｙ， 基金项目：安徽省自然科学研究项目（ＫＪ２０１３Ｂ１６２）；安徽省质量工程项目（２０ｌ ３＿ｊｙｘｎ ２（）７）；大学数学教学团队（ｃｈ１２ １）；巢湖学院博士科研启动项目。 作者简介：陈佩树（１９７９一），男，安徽来安人，巢湖学院数学系副教授，博士，研究方向为运筹学及数学教育研究。 第３期 又 ｌｉ ｍ。＋张千祥，陈佩树，李海燕：方向导数与三个常用概念关系的研究 ４１ ｆ（ａ ￣， ｏ）－ｏ—＝ｌ， ｌｉｍ。一—．＋ｆ（Ａ ｘ ，０）－０＝一ｌ， ３方向导数与梯度的关系 也就是说 ‰ ０）的某个邻域ｕ（Ｐ。）ＯＲ 内有定义， （０，０）关于 的偏导数不存在。同理也有 ， 在 且在点Ｐ。处可微。其中ｓ 是 轴对应的单位向 …极限不存在， ， 在点 定理２：设多元函数／ ， ，…， ）在点 Ｐ。 ００， ，， 点（０，０）关于Ｙ的偏导数也不存在。进一步有 ｆ（ｘ， 在点（０，０）不可微。对于从点（０，０）出发的与 轴正向夹角为０的有向线段，我们有： ＪＩ册 ． ｆ（ｐ ＣＯＳＯ，ｐ ｓｉｎ －ｆ（０，０） Ｉ（０，０） Ｐ ０≤ ≤号； 要≤ ≤ ； 刚＋ｓｉｎ ），１Ｔ≤ ≤萼； ｃ。ｓ －ｓｉｎ ，萼≤ ≤２１Ｔ． 结论１：多元函数厂在某点的偏导数不存在， 从而在该点的全微分也不存在，但是在该点的沿任 意方向上的方向导数仍然可能存在。 例２：三元函数 ｒ ２ ｘｙｚ 厂 ，），， ）：（２２ ， ，ｙ， ≠０，在原点对于 ，ｙ， １０， ，Ｙ， ＝０， 的偏导数都存在，但是在该点沿任意方向的方向导 数不存在，在原点的全微分也不存在。 证明：易知 Ｏｆ－￣ｘ＝ －ｆ＿０， （ｏ，ｏ，ｏ）Ｙ（ｏ，。， ＪＩ （ｏ，ｏ，０） ＝０． 但是在原点沿任何方向上的方向导数为： Ｉ＝ 巡 ｌｉｍ—ｃｏｓａｃｏｓ／３ｃｏｓ￣ｙ：—． ｐ－－－＊Ｏ Ｐ （其中ＯＬ， 和 分别为向量Ｚ的方向角）。 易知上述极限不存在，即在该点沿任意方向的 方向导数不存在。 又由于 １．ｉ＋ａｒ（０＇ｏ＇０） ，Ｙ， 飘ｆ（ｐＣＯＳＯＬ，ｐＣＯＳ￣， Ｐｃｏｓ３＇）＝ＣＯＳＯＬ ＣＯＳ￣ＣＯＳ ，一般地，若取方向角取 值范围为［０，竹］，也就是说，如果Ｏｌ， 或者 不为 要时，总有 ｎ Ｕ】ｆ（ｘ，Ｙ， ≠厂（０，０，０），（当 ≠号， ≠ ，ｆ， ≠号时）， 也即在原点不连续，从而在该点不可微。 结论２：即使多元函数．厂在某点的所有偏导数 都存在，但在该点的全微分也不存在，在该点的沿 任意方向上的方向导数依然可能不存在。 量，向量ｎ ＝（ＣＯＳ 】，ＣＯＳＯＬ２，…，ＣＯＳ ）为向量Ｚ的方 向余弦。则有： Ｉ＝∑ ．ＩＰｉ １ （Ｐ。ＣＯＳＯ￣ ＝ｇｒａｄｆ（Ｐ。） ｏ 该定理是文献［２】中的定理１７．６（凡＝３）的推广， 证明思路基本相同。从定理２显然可以得到下面 的结论。 结论３：若多元函数．厂在点Ｐ。可微，当ｎ 与 ｇｒａｄｆ（Ｐ。）方向相同时，方向导数取得最大值 Ｉｇｒａｄｆ（Ｐ。）Ｉ，也即ｆ在Ｐ。的梯度方向是其值增长最 快方向；当ｎ。与ｇｒａｄｆ（Ｐ。）方向相反时，方向导数取 得最小值一ｌｇｒａｄ厂（Ｐ。）ｌ，也即 在Ｐ。的梯度反方向 是厂的值减少最快方向。 下面结合例子分析最大方向导数的本质。 例３：求函数厂 ，Ｙ， ＝２ｘ ＋３ｙ ＋如 在点 Ｐ。（１，２，３）处的最大方向导数。 解：易知ｇｍ （ ， ， ）＝ ，６ｙ，８ｚ），从而有： ｇｒａｄｆ］。：（４，１２，２４），即说明了 ，Ｙ， 沿梯度 （４，１２，２４）方向的方向导数最大，且其值为梯度的 模，即为 ＝４４－￣－． ４总结 方向导数本质上研究的是函数在某点处沿某 一方向的变化率问题，但是由于在不同文献中具体 定义有所差异，为此分析了方向导数定义的差异性 及内在的相关性，并把方向导数定义推广到ｌｔ＇维空 间上。通过对所给的两个定理和反例分析，揭示了 方向导数与偏导数、全微分以及梯度之间的关系， 且进一步得到三个重要结论。最后结合实例给出 了最大方向导数的具体求法，加深了对方向导数的 理解和运用。
