第一节 集合运算
[复习要点] 1.了解集合的含义、体会元素与集合的属于关系．
2．能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 3．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 4．在具体情境中，了解全集与空集的含义．
5．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7．能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系及集合运算．
知识点一 集合的基本概念
1．集合中元素的性质：________、________、________. 2．元素与集合的关系
(1)属于，记为________；(2)不属于，记为________． 3．常见数集的符号
集合 符号 自然数集 ________ 正整数集 ________ 整数集 ________ 有理数集 ________ 实数集 ________ 4.集合的表示方法：(1)________；(2)________；(3)________． 答案：1.确定性 无序性 互异性 2．(1)∈ (2)∉
3．N N*或N＋ Z Q R
4．(1)列举法 (2)描述法 (3)图示法 知识点二 集合间的基本关系
表示 关系 相等 子集 真子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素________ 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且B中至符号语言 ______且______ ⇔A＝B ________ ________ 少有一个元素不是A中的元素 空集 空集是________的子集，是∅⊆A ________的真子集 ∅B(B≠∅)
答案：相同 A⊆B B⊆A A⊆B或B⊇A AB或B
A 任何集合 任何非空集合
知识点三 集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 ________ ________ 若全集为U，则集合A的补集为________ 图形 表示 意义 {x|________} {x|______} {x|＝________} 答案：A∪B A∩B ∁UA x∈A，或x∈B x∈A，且x∈B x∈U，且x∉A
链/接/教/材
1．[必修1·P11·A组T1改编]若集合P＝{x∈N|x≤2 021}，a＝22，则( ) A．a∈P B．{a}∈P C．{a}⊆P D．a∉P
答案：D
2．[必修1·P12·A组T6改编]已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|0 ) 3 答案：(1)－2 (2)0或3 2．集合中的两个易混结论：集合中元素的个数；集合子集的个数． (1)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________． (2)集合A＝{1,4,7,10,13,16,19,21}，则集合A有________个子集、________个真子集、________个非空子集、________个非空真子集． (1)答案：5 解析：因为A∪B＝{1,2,3,4,5}，所以A∪B中元素的个数为5. (2)答案：28 28－1 28－1 28－2 解析：因为集合A中有8个元素，所以集合A有28个子集、28－1个真子集、28－1个非空子集、28－2个非空真子集． 通/性/通/法 1．解决集合问题的两个方法：列举法；图示法． (1)若集合A＝{1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集的个数为________． (2)若集合A＝{x|－5＜x＜2}，B＝{x|－3＜x＜3}，则A∩B＝________. (1)答案：4 解析：A∩B＝{1,3}，其子集分别为∅，{1}，{3}，{1,3}，共4个． (2)答案：{x|－3＜x＜2} 解析：在数轴上画出表示集合A，B的两个区间，观察可知A∩B＝{x|－3＜x＜2}． 2．集合中两组常用结论：集合间的基本关系；集合的运算． (1)[2021湖南湘潭模拟]已知全集U＝R，集合M＝{x||x|<1}，N＝{y|y＝2x，x∈R}，则集合∁U(M∪N)＝( ) A．(－∞，－1] C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．(－1,2) D．[2，＋∞) (2)[2021皖北协作区联考]已知集合A＝{y|y＝x2－1}，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}，则∁R(A∩B)＝( ) 1 A．0，2 1 C．0，2 (1)答案：A (2)答案：D 解析：因为A＝{y|y＝1 所以∁R(A∩B)＝(－∞，0]∪2，＋∞. 题型 角度Ⅰ.用描述法表示集合 集合的含义与表示 11 x2－1}＝[0，＋∞)，B＝{x|y＝lg(x－2x2)}＝0，2，所以A∩B＝0，2， 1 B．(－∞，0)∪2，＋∞ 1 D．(－∞，0]∪2，＋∞ 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合A＝{ 6 ∈Z|x∈N*}，则集合A用列举法表示为_______________． x－5 * 6 ∈Z，则A中的元素分别是________． 思考：已知集合A＝{x∈Nx－5[答案] {－2，－3，－6,6,3,2,1} [解析] 集合中的元素为 66 的取值，当x＝2,3,4,6,7,8,11时，的值为－x－5x－5 2，－3，－6,6,3,2,1，共有7个取值，集合A用列举法表示为{－2，－3，－6,6,3,2,1}． 思考：2,3,4,6,7,8,11 2．[2021湖北天门调研]集合A．M＝N C．N M k1k1 ，则( x|x＝＋，k∈Zx|x＝＋，k∈ZM＝，N＝2442 ) B．MN D．M与N没有相同的元素 [答案] B [解析] 由题可知， 集合 k1 M＝x|x＝2＋4，k∈Z 1 ＝x|x＝42k＋1，k∈Z， k1N＝x|x＝4＋2，k∈Z 1＝x|x＝4k＋2，k∈Z，当 k∈Z时，2k＋1是奇数，k＋2是整数，又知奇数均为整数，而整数不一定为奇数， 所以MN，故选B. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 与集合中的元素有关的问题的求解策略 (1)确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么条件． (3)根据条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数． [易错警示] 要注意检验集合中元素的互异性． 角度Ⅱ.元素的互异性与参数的求值 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．已知 b a，b∈R，若a，a，1＝{a2，a＋b,0}，则 a2 021＋b2 021为( ) A．1 C．－1 B．0 D．±1 [答案] C [解析] 只有b＝0，a2＝1⇒a＝－1(a＝1不满足互异性)，从而b＝0，且a＝－1，有a2 021＋b2 021＝－1. 4．[2021山东百师联盟测试三]已知集合P＝{－1,2a＋1，a2－1}，若0∈P，则实数a的取值集合为( ) 1 A．－2，1，－1 1－，1C．2 1 B．－2，0 1 －，－1D．2 1 [答案] C [解析] 当2a＋1＝0时，a＝－2，满足题意；当a2－1＝0时，a＝±1，经检验，a＝1满足题意， 1故a∈－2，1. 5．已知集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3，a－2，a2＋1}，若A∩B＝{－3}，则a＝________. [答案] －1 [解析] 因为A∩B＝{－3}， 所以只可能a－3＝－3或a－2＝－3， 解得a＝0或a＝－1. 当a＝0时，A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－2,1}，此时A∩B＝{1，－3}，不合题意．当a＝－1时，A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，此时A∩B＝{－3}，符合题意，故a＝－1. 解/题/感/悟(小题示，大智慧) 要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾． 题型 角度Ⅰ.子集、真子集关系的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．已知集合之间的关系． [解] 集合 1M＝x|x＝m＋6，m∈Z.关于集合 1n1p1M＝x|x＝m＋6，m∈Z，N＝x|x＝2－3，n∈Z，P＝x|x＝2＋6，p∈Z，试分析集合 集合的基本关系 M，N，P N：当n是偶数时， 令n＝2m(m∈Z)， 则 1N＝x|x＝m－3，m∈Z； 当n是奇数时，令n＝2m＋1(m∈Z)， 2m＋11 则N＝x|x＝－，m∈Z 23 1 ， x|x＝m＋，m∈Z＝6 从而得MN. 关于集合P：当p＝2m(m∈Z)时， 则 1 P＝x|x＝m＋6，m∈Z； 当p＝2m－1(m∈Z)时， 2m－11则P＝x|x＝＋6，m∈Z 2 1 ＝x|x＝m－3，m∈Z， 从而得N＝P. 综上可知，MN＝P. 角度Ⅱ.子集、真子集的个数问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 2．[2021山东省实验中学期中]设A＝{x|x2－8x＋15＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若A∩B＝B，则实数a组成的集合的子集个数是( ) A．2 C．4 B．3 D．8 [答案] D [解析] A＝{x|x2－8x＋15＝0}＝{3,5}，因为A∩B＝B，所以B⊆A，结合题意可知B＝∅或{3}或{5}， 1111 ，所以所求子集个数是23＝8，故选D. 0，，对应实数a的值分别为0，3，5，其组成有3个元素的集合：35 3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0 B．2 D．4 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4．[2021湖南长沙长郡中学适应性考试]已知集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}．若A∩B只有4个子集，则实数a的取值范围是( ) A．(－2，－1] C．[0,1] B．[－2，－1] D．(0,1] [答案] D [解析] 本题考查根据集合的子集个数求参数的取值．集合A＝{x∈Z|x≥a}，集合B＝{x∈Z|2x≤4}＝{x∈Z|x≤2}，故A∩B＝{x∈Z|a≤x≤2}．因为A∩B只有4个子集，所以A∩B中元素只能有2个，即A∩B＝{1,2}，所以0 ，集合T＝{x|mx＋1＝0}，若T⊆P，则实数m的取值可以是( ) 5．[多选]设集合P＝{x2x＋2x＝2 1 A．2 C．0 1[答案] BCD [解析] 由2x2＋2x＝2－x－6， 得2x2＋2x＝2x＋6， ∴x2＋2x＝x＋6，即x2＋x－6＝0， 解得x＝－3或x＝2， ∴集合P＝{2，－3}． 若m＝0，则T＝∅，∴T⊆P. 若m≠0，则 1T＝－m. 1 B．－2 1D．3 11 由T⊆P，得－m＝2或－m＝－3， 11 ∴m＝－2或m＝3. 11 综上，实数m的取值是3，－2，0. 故选BCD. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 根据两集合的关系求参数的方法 (1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时注意集合中元素的互异性． (2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到． [易错警示] 题目中若有条件B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况进行讨论． 题型 角度Ⅰ.交集、并集、补集的综合运算 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．[2020全国卷Ⅲ，理]已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为( ) A．2 C．4 B．3 D．6 集合的运算 [答案] C [解析] 本题考查集合的表示方法，集合的交集运算，集合中元素的个数．依题意A∩B的元素是直线x＋y＝8上满足x，y∈N*且y≥x的点，即点(1,7)，(2,6)，(3,5)，(4,4)．故选C. 2．[多选][2021山东济宁一中一模]若集合A＝{x|sin x＝1}， πkπ B＝{yy＝4＋2，k∈Z，则正确的结论有( ) A．A∪B＝B C．A∩B＝∅ B．∁RB⊆∁RA D．∁RA⊆∁RB [答案] AB [解析] 本题考查集合的包含关系与补集关系． 由A＝{x|sin 2x＝1} π＝x|x＝kπ＋4，k∈Z 4kπ＋π ， ＝x|x＝，k∈Z 4 2kπ＋ππkπ又B＝{yy＝4＋2，k∈Z＝{yy＝，k∈Z， 4显然集合{x|x＝4kπ＋π，k∈Z}⊆{x|x＝2kπ＋π，k∈Z}， 所以A⊆B，则A∪B＝B成立，所以选项A正确； 且∁RB⊆∁RA成立，所以选项B正确，选项D不正确； A∩B＝A，所以选项C不正确．故选AB. 角度Ⅱ.根据集合的运算求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．[2021湖北名校学术联盟联考]已知A＝{1,2,3,4}，B＝{a＋1,2a}．若A∩B＝{4}，则a＝( ) A．3 C．2或3 B．2 D．3或1 [答案] A [解析] ∵A∩B＝{4}，∴a＋1＝4或2a＝4.若a＋1＝4，则a＝3，此时B＝{4,6}，符合题意；若2a＝4，则a＝2，此时B＝{3,4}，不符合题意．综上，a＝3，故选A. 4．[2021豫北名校联考]设集合A＝{x|x2＋2x－3>0}，集合B＝{x|x2－2ax－1≤0，a>0}，若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是( ) 3 A．0，4 3C．4，＋∞ 34B．4，3 D．(1，＋∞) [答案] B [解析] A＝{x|x2＋2x－3>0}＝{x|x>1或x<－3}，设函数f(x)＝x2－2ax－1，因为函数f(x)＝x2－2ax－1图象的对称轴为直线x＝a(a>0)，f(0)＝－1<0，根据对称性可知，若A∩B中恰有一个整数，则这个整数为2，f2≤0，4－4a－1≤0， 所以有即 f3>0，9－6a－1>0， 3 a≥4，所以4 a<3， 34 即4≤a<3.故选B. 角度Ⅲ.补集思想在解题中的应用 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 5．已知集合A＝{x|x2＋ax＋1＝0}，B＝{x|x2＋2x－a＝0}，C＝{x|x2＋2ax＋2＝0}，若三个集合至少有一个集合不是空集，则实数a的取值范围是________． [答案] {a|a≤－2或a≥－1} [解析] 假设三个集合都是空集，即三个方程均无实根，则有 2 Δ＝a－4<0，1 Δ2＝4＋4a<0，Δ3＝4a2－8<0， －2 －2 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 运用补集思想求参数取值范围的步骤 第一步：把已知的条件否定，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数的取值范围； 第三步：求反面问题对应的参数的取值集合的补集． 角度Ⅳ.集合的新定义问题 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 6．[2021名师原创]对集合A，B，记A－B＝{x|x∈A且x∉B}，定义A△B＝(A－B)∪(B－A)为A，B的对称差集．若1111111111 A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，y，|x|}，且A△B＝∅，则x＋y＋x2＋y2＋x3＋y3＋…＋x2 020＋y2 020＋x2 021＋y2 021 ＝________. [答案] －2 [解析] 依题意及Venn图知，图中左侧阴影部分为A－B，右侧阴影部分为B－A，两阴影部分合起来就是A△B，因为A△B＝∅，所以A＝B，根据集合中元素的互异性，且结合集合B知x≠0，y≠0，因为0∈B，且A＝B， 所以0∈A，故只有lg(xy)＝0， 从而xy＝1，而1＝xy∈A， xy＝1，xy＝1， 由A＝B得或其中x＝y＝1与集合中元素的互异性矛盾，所以x＝y＝－1， |x|＝1y＝1，1111111111＋＋＋＋＋代入得xy＋x2y2＋x3y3＋…＋x2 020y2 020＋x2 021y2 021＝－2＋2－2＋…＋2－2＝－2. 7．[2021四川成都联考]已知集合A＝{1,2,3,4,5,6}的所有三个元素的子集记为B1，B2，B3，…，Bk，k∈N*.记bi为集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中的最大元素，则b1＋b2＋b3＋…＋bk＝( ) A．45 C．150 B．105 D．210 [答案] B [解析] 本题考查集合的新定义问题．集合A的含有3个元素的子集共有C36＝20个，所以k＝20. 2 在集合Bi(i＝1,2,3，…，k)中，最大元素为3的集合有C22＝1个；最大元素为4的集合有C3＝3个；最大元素为5 的集合有C2最大元素为6的集合有C2所以b1＋b2＋b3＋…＋bk＝3×1＋4×3＋5×6＋6×10＝105.4＝6个；5＝10个，故选B. 8．[多选]已知集合M，N都是非空集合U的子集，令集合S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}，下列说法正确的是( ) A．若S＝N，则M＝∅ B．若S＝∅，则M＝N C．若S⊆M，则M⊆N D．∃M，N，使得S＝(∁UM)∪(∁UN) [答案] ABD [解析]本题考查Venn图．用Venn图表示，集合S为如图1中的阴影部分，对于A选项，若S＝N，利用S的Venn图观察，则有M∩N＝∅，M＝∅，故A选项正确；对于B选项，若S＝∅，则M＝N，故B选项正确；对于C选项，反例：如图集合S为如图2中的阴影部分，N⊆M，故C选项错误；对于D选项，例如U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{4}，S＝{x|x恰好属于M，N中的一个}＝{1,2,3,4}＝U，而(∁UM)∪(∁UN)＝{4}∪{1,2，3}＝{1,2,3,4}＝S，故D选项正确，故选ABD. 图1 图2 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 解决集合新定义问题的方法 1．紧扣新定义 分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是解答新定义型集合问题的关键． 2．用好集合的性质 集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解答时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质． 提醒 完成限时跟踪检测(一) 第二节 充分条件与必要条件，全称量词与存在量词 [复习要点] 1.理解充分条件与必要条件的意义． 2．理解全称量词与存在量词的含义． 3．能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 知识点一 命题的概念 概念 特点 分类 答案：真假 真 假 知识点二 充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件 p是q的________条件 p是q的________条件 p是q的________条件 p是q的________条件 pp⇒q且qpp 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断______的陈述句 (1)能判断真假；(2)陈述句 ________命题、________命题 q且q⇒p p⇔q q且qp 答案：充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分也不必要 知识点三 全称量词和存在量词 1．全称量词：所有的，任意一个，任给一个，用符号“________”表示；存在量词：存在一个，至少有一个，有些，用符号“________”表示． 2．含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立” 用符号简记为：___________________________________. 3．含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：_________________________________________. 答案：1.∀ ∃ 2.∀x∈M，p(x) 3.∃x0∈M，p(x0) 知识点四 含有一个量词的命题的否定 命题 ∀x∈M，p(x) ∃x0∈M，p(x0) 答案：∃x0∈M，綈p(x0) ∀x∈M，綈p(x) 链/接/教/材 1 1．[选修2－1·P12·A组T3]设a，b∈R且ab≠0，则ab>1是a>b的( ) 命题的否定 ________________ ________________ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：D 2．[选修2－1·P30·A组T6]命题“表面积相等的三棱锥体积也相等”的否定是_____________________________________________. 答案：有些表面积相等的三棱锥体积不相等 3．[选修2－1·P27·A组T3改编]命题“∀x∈R，x2＋x≥0”的否定是( ) A．∃x0∈R，x20＋x0≤0 B．∃x0∈R，x20＋x0<0 C．∀x∈R，x2＋x≤0 D．∀x∈R，x2＋x<0 答案：B 4．[选修2－1·P24·例3改编]命题：“∃x∈R，x2－ax＋1<0”的否定为________． 答案：∀x∈R，x2－ax＋1≥0 易/错/问/题 1．命题中的易错点：命题的否定与否命题区分不当． 命题“已知a>1，若x>0，则ax>1”的否命题为( ) A．已知0 3．充要条件的易错点：否定形式下充分条件、必要条件判断错误． 已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 B．x>1 D．x>3 C．充要条件 答案：A 核/心/素/养 D．既不充分也不必要条件 逻辑推理——充要条件关系中的核心素养 充要条件问题中常涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决，充分体现“逻辑推理”的核心素养． 4 [2021河北保定模拟]已知条件p：≤－1，条件q：x2＋x 1 A．－2，－2 C．[－1,2] 答案：C 解析：由 1 B．2，2 1－2，D．∪[2，＋∞) 2 44 ≤－1，即＋1≤0， x－1x－1 x＋3 化简，得≤0，解得－3≤x<1； x－1由x2＋x 2f－3＝－a＋a＋6>0， 则 2f1＝－a＋a＋2≥0， －2 －1≤a≤2， 题型 充分条件与必要条件 角度Ⅰ.充分条件与必要条件的判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．[2020北京卷]已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的( ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [答案] C [解析] 本题考查充分条件、必要条件的判断，以及诱导公式的应用．充分性：若存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ，当k为偶数时，设k＝2n(n∈Z)，则α＝2nπ＋β，则sin α＝sin(2nπ＋β)＝sin β；当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则α＝(2n＋1)π－β＝2nπ＋(π－β)，则sin α＝sin(2nπ＋π－β)＝sin(π－β)＝sin β，所以充分性成立．必要性：若sin α＝sin β，则α＝2nπ＋β或α＝2nπ＋π－β(n∈Z)，即α＝kπ＋(－1)kβ(k∈Z)，所以必要性成立．故选C. 2．[多选][2021海南华侨中学段测]“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是( ) A．0 [答案] BD [解析] 本题考查二次不等式恒成立、充分条件和必要条件的判断．关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立，则Δ＝4a2－4a<0，解得0 B选项，“0≤a≤1”是“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对∀x∈R恒成立”的必要不充分条件； 1 C选项，“0 3．[2019北京卷]设点A，B，C不共线，则“ABA．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件 →＝AC→－AB→，→＋AC→|>|BC→ [答案] C [解析] 因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知BC所以|AB→＋AC→|>|AC→－AB→|，→2＋AC→2＋2|AB→|·→|cos θ>AC→2＋AB→2－2|AC→|·→|cos |等价于|AB因为模为正，故不等号两边平方得AB|AC|AB→与AC→的夹角)，→|·→|cos θ>0，→与AC→θ(θ为AB整理得4|AB|AC故cos θ>0，即θ为锐角．因为以上推理过程可逆，所以“AB→＋AC→|>|BC→|”的充分必要条件．故选C. 的夹角为锐角”是“|AB 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 充分条件与必要条件的判定方法 1．定义法 ①若p⇒q且q②若q⇒p且p p，则p是q的充分不必要条件； q，则p是q的必要不充分条件； ③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件； ④若p q且q p，则p是q的既不充分也不必要条件． 2．等价转化法 条件和结论带有否定性词语的命题常转化为其逆否命题来判断．如 ①命题“綈q⇒綈p”转化为命题“p⇒q”； ②命题“綈p⇒綈q”转化为命题“q⇒p”； ③命题“綈p⇔綈q”转化为命题“q⇔p”． 3．集合法 设满足条件p的元素构成集合A，满足条件q的元素构成集合B，则 ①若A⊆B，则p是q的充分条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若A＝B，则p是q的充要条件； ④若AB，则p是q的充分不必要条件； ⑤若AB，则p是q的必要不充分条件； ⑥若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 角度Ⅱ.探究充分条件、必要条件及充要条件 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 4．[多选]“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1,3]上不单调”的一个必要不充分条件是( ) A．2≤m<3 C．1≤m<3 1 B．2≤m≤3 5 D．2≤m≤2 [答案] BC [解析] 本题考查必要不充分条件的探求．函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，由已知可得充要 1 条件是1 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 2216 5．[多选]设f(x)是x＋2x展开式的中间项，则f(x)≤mx在区间，2上恒成立的必要不充分条件是( ) 2A．m∈[0，＋∞) 5 C．m∈4，5 [答案] AB [解析] 易知5 ∴m≥2x2max＝5. ∴m∈[5，＋∞)满足条件， 即所求区间应真包含区间[5，＋∞)．故选AB. x 6．已知p：1－32≤4，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围 为________． [答案] [8，＋∞) [解析] 由q：x2－2x＋1－m2≤0，解得1－m≤x≤1＋m， 所以綈q：A＝{x|x>1＋m或x<1－m，m>0}， x 由p：1－32≤4，解得－3≤x≤9， 所以綈p：B＝{x|x>9或x<－3}． 因为綈p是綈q的必要不充分条件， 所以AB. m>0， 所以1－m<－3， 1＋m≥9 23f(x)＝C36(x)· 5 B．m∈4，＋∞ D．m∈[5，＋∞) 1353522 ， ＝x，故f(x)≤mx⇔m≥x，x∈，222x22 m>0， 或1－m≤－3，1＋m>9， 即m≥8或m>8，所以m≥8. 7．[2021湖南浏阳三校联考]设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，a∈R；q：实数x满足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.若a<0且綈p是綈q的必要不充分条件，求实数a的取值范围． [解] 由p得(x－3a)(x－a)<0， 当a<0时，3a ∴綈p是綈q的必要不充分条件， ∴p是q的充分不必要条件． 设A＝(3a，a)， B＝(－∞，－4)∪[－2，＋∞)， 可知AB，∴a≤－4或3a≥－2， 2即a≤－4或a≥－3. 2 又∵a<0，∴a≤－4或－3≤a<0， 2 即实数a的取值范围为(－∞，－4]∪－3，0. 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 1．根据充分、必要条件求解参数范围的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． 2．利用充要条件求参数的关注点 (1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍． [提醒] 含有参数的问题，要注意分类讨论． 题型 角度Ⅰ.全(特)称命题的否定 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 1．[2021湖南怀化模拟]命题“∀x∈N*，x2∈N*且x2≥x”的否定形式是( ) 全称量词与存在量词 A．∀x∈N*，x2∉N*且x2 C．∃x0∈N*，x0∉N*且x20 “∃x0∈N*，x20∉N*或x20 方/法/指/导(来自课堂的最有用的方法) 全称命题与特称命题的否定 1．改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写． 2．否定结论 对原命题的结论进行否定． 3．“双量词”命题的否定叙述 “对于∀t∈D1，∃x0∈D2，满足条件p(t，x0)”其否定叙述为“∃t0∈D1，对于∀x∈D2，满足条件綈p(t0，x)”如本例2中出现的形式． 角度Ⅱ.全(特)称命题的真假判断 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 3．下列四个命题： p1：∃x0∈(0，＋∞)，12x0<13x0； p2：∃x0∈(0,1)，log12 x0>log13 x0； p∀x∈(0，＋∞)，13：2x>log12x； p：∀x∈114 0，3，2x ，其中真命题为( ) A．p1，p3 C．p2，p3 B．p1，p4 D．p2，p4 11[答案] D [解析] 对于p1，当x0∈(0，＋∞)时，总有2x0>3x0成立，故p1是假命题； 11111111111对于p2，当x0＝2时，有1＝log2＝log3>log2成立，即log2>log2，故p2是真命题； 23323 1对于p3，结合指数函数y＝2x与对数函数y＝log1x在(0，＋∞)上的图象(如图1)可以判断p3是假命题； 211 对于p4，结合指数函数y＝2x与对数函数y＝log1x在0，3上的图象(如图2)可以判断p4是真命题． 3综上可知，真命题为p2，p4，故选D. 4．下列各命题中，真命题是( ) A．∀x∈R,1－x2<0 C．∃x0∈Z，x30<1 B．∀x∈N，x2≥1 D．∃x0∈Q，x20＝2 [答案] C [解析] 分别对选项中的不等式求解，依次判断是否正确即可．对于选项A,1－x2<0，即x>1或 x<－1，故A不正确；对于选项B，当x＝0时，x2＝0<1，故B不正确；对于选项D，x＝±2为无理数，故D不正确；对于选项C，当x＝0时，x3＝0<1，故C为真命题，故选C. 5．[多选]已知直线l：y＝k(x－1)，圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，则下列命题正确的是( ) A．∀k∈R，l与C相交 C．∀r>0，l与C相交 B．∃k∈R，l与C相切 D．∃r>0，l与C相切 [答案] AC [解析] 直线l：y＝k(x－1)经过定点(1,0)， 圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)的圆心为(1,0)，半径为r， ∴直线l经过圆C的圆心， ∴∀k∈R，l与C相交，∀r>0，l与C相交． ∴AC正确． 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 由于全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题，原命题与其否定的真假相对，因此涉及特称命题为假命题时，常转化为全称命题为真命题后求解． 全称命题为真，常转化为恒成立问题，特称命题为真，常转化为有解问题． 角度Ⅲ.根据全(特)称命题的真假求参数 试/题/调/研(题题精选，每题都代表一个方向) 6．若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1,2]，∃x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________． 1 [答案] 0，2 [解析] f(x)＝x2－2x，在x∈[－1,2]内的值域为[－1,3]，g(x)＝ax＋2(a>0)在x∈[－1,2]内的值 域为[－a＋2,2a＋2]． 由条件可知：[－a＋2,2a＋2]⊆[－1,3]． －a＋2≥－1，1 从而：∴0 围是________． 11 [答案] 4，＋∞ [解析] 当x∈[0,3]时，f(x)min＝f(0)＝0，当x∈[1,2]时，g(x)min＝g(2)＝4－m，由题意得 11 f(x)min≥g(x)min，得0≥4－m，所以m≥4. 8．[2021河南安阳调研]已知p：∀x∈[1,2]，x2－a≥0，q：∃x0∈R，使x20＋2ax0＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________． [答案] {a|a≤－2或a＝1} [解析] 由x2－a≥0， 得a≤x2.又x∈[1,2]， ∴x2∈[1,4]， ∴a≤1， ∴若命题p是真命题，则a≤1； 要使命题q为真命题， 则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0， 即a2＋a－2≥0， 解得a≥1或a≤－2. ∵命题“p且q”是真命题， ∴p，q同时为真， a≤1，∴ a≥1或a≤－2，解得a≤－2或a＝1， 即实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}． 解/题/感/悟(小提示，大智慧) 根据全(特)称命题真假求参数的取值范围时，常采用分离参数法 (1)∀x∈D，不等式p(a，x)≥0恒成立，分离出参数a后转化为a≥f(x)[或a≤f(x)]恒成立，进而转化为a≥f(x)max[或a≤f(x)min]． (2)∃x∈D，不等式p(a，x)≥0有解，求参数，也常分离参数后，化为a≥f(x)[或a≤f(x)]有解问题，从而转化为a≥f(x)min[或a≤f(x)max]． (3)形如：“对∀x1∈A，都存在x2∈B，使得g(x2)＝f(x1)成立”，问题转化为两值域间的包含关系：{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}． (4)形如：“对∀x1∈A，都存在x2∈B，使得f(x1) 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容
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