等腰三角形时常用的辅助线作法

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，

求证：∠BAC = 2∠DBC

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

求证：DE = DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各

取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结

DE交BC于F求证：DF = EF

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⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，F在AC上，E在BA延长线上，且AE = AF，连结DE求证：EF⊥BC⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ， ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.有等腰三角形时常用的辅助线⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BD⊥AC于D，求证：∠BAC = 2∠DBC证明：（方法一）作∠BAC的平分线AE，交BC于E，则∠1 = ∠2 = 又∵AB = AC∴AE⊥BC∴∠2＋∠ACB = 90o∵BD⊥AC∴∠DBC＋∠ACB = 90o∴∠2 = ∠DBC∴∠BAC = 2∠DBC（方法二）过A作AE⊥BC于E（过程略）21∠BAC2A12DBEC（方法三）取BC中点E，连结AE（过程略）⑵有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，D为BC中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE = DF证明：连结AD.∵D为BC中点，A∴BD = CD又∵AB =AC∴AD平分∠BACEF∵DE⊥AB，DF⊥ACBC∴DE = DFD⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，在BA延长线和AC上各取一点E、F，使AE = AF，求证：EF⊥BC证明：延长BE到N，使AN = AB,连结CN,则AB = AN = AC∴∠B = ∠ACB, ∠ACN = ∠ANC∵∠B＋∠ACB＋∠ACN＋∠ANC = 180o∴2∠BCA＋2∠ACN = 180o∴∠BCA＋∠ACN = 90oN即∠BCN = 90o∴NC⊥BCE∵AE = AFA∴∠AEF = ∠AFE又∵∠BAC = ∠AEF ＋∠AFEF∠BAC = ∠ACN ＋∠ANCBC∴∠BAC =2∠AEF = 2∠ANC∴∠AEF = ∠ANC∴EF∥NC∴EF⊥BC⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在△ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延长线上，且BD = CE，连结DE交BC于F求证：DF = EF证明：（证法一）过D作DN∥AE，交BC于N，则∠DNB = ∠ACB，∠NDE = ∠E，∵AB = AC，∴∠B = ∠ACBA∴∠B =∠DNB∴BD = DN又∵BD = CE D∴DN = EC在△DNF和△ECF中1C2BFN∠1 = ∠2∠NDF =∠EE3DN = EC ∴△DNF≌△ECF∴DF = EFA（证法二）过E作EM∥AB交BC延长线于M,则∠EMB =∠B（过程略）⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线D例：已知，如图，△ABC中，AB =AC，E在AC上，D在BAC1M2B延长线上，且AD = AE，连结DEF求证：DE⊥BCE证明：（证法一）过点E作EF∥BC交AB于F，则∠AFE =∠B∠AEF =∠C∵AB = AC∴∠B =∠C∴∠AFE =∠AEFND∵AD = AEAM∴∠AED =∠ADE又∵∠AFE＋∠AEF＋∠AED＋∠ADE = 180oEFo∴2∠AEF＋2∠AED = 90 即∠FED = 90o BC∴DE⊥FE又∵EF∥BC∴DE⊥BC（证法二）过点D作DN∥BC交CA的延长线于N，（过程略）（证法三）过点A作AM∥BC交DE于M，（过程略）⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形------等边三角形例：已知，如图，△ABC中，AB = AC，∠BAC = 80o ,P为形内一点，若∠PBC = 10o ∠PCB = 30o 求∠PAB的度数.解法一：以AB为一边作等边三角形，连结CE则∠BAE =∠ABE = 60oAE = AB = BE∵AB = AC∴AE = AC ∠ABC =∠ACB∴∠AEC =∠ACE∵∠EAC =∠BAC－∠BAE = 80o －60o = 20oo180o∴∠ACE = (180－∠EAC)= 1250o∵∠ACB= (180o－∠BAC)= ∴∠BCE =∠ACE－∠ACB2 = 80o－50o = 30oAo∵∠PCB = 30∴∠PCB = ∠BCE∵∠ABC =∠ACB = 50o, ∠ABE = 60o∴∠EBC =∠ABE－∠ABC = 60o－50o =10oPBC∵∠PBC = 10oE∴∠PBC = ∠EBC4在△PBC和△EBC中∠PBC = ∠EBCBC = BC∠PCB = ∠BCE∴△PBC≌△EBC∴BP = BE∵AB = BE∴AB = BP∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o1∴∠PAB = (180o－∠ABP)= 70o2解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以BC为一边作等边三角形△BCE，连结AE,则EB = EC = BC，∠BEC =∠EBC = 60o∵EB = EC∴E在BC的中垂线上同理A在BC的中垂线上∴EA所在的直线是BC的中垂线∴EA⊥BC1∠AEB = ∠BEC = 30o =∠PCB2由解法一知：∠ABC = 50o∴∠ABE = ∠EBC－∠ABC = 10o =∠PBC∵∠ABE =∠PBC,BE = BC,∠AEB =∠PCB∴△ABE≌△PBC∴AB = BP ∴∠BAP =∠BPA∵∠ABP =∠ABC－∠PBC = 50o－10o = 40o11∴∠PAB = (180o－∠ABP) = (180o－40o)= 70o22EABPC5